Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y^{2} - 1}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y^{2} - 1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{x^{2} + 1}{y^{2} - 1}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{x^{2} + 1}{y^{2} - 1^{2}}$

Étape 1.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{x^{2} + 1}{(y + 1) (y - 1)}$

Étape 1.2.2

Multipliez $y^{2} - 1$ par $\frac{x^{2} + 1}{(y + 1) (y - 1)}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Étape 1.2.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Étape 1.2.4

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Étape 1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (x^{2} + 1)}{y - 1}$

Étape 1.2.5

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (x^{2} + 1)}{y - 1}$

Étape 1.2.5.2

Divisez $x^{2} + 1$ par $1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(y^{2} - 1) d y = (x^{2} + 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} - 1 d y = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y^{2} d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int - 1 d y = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 2.2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} - y + C_{2} = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int d x$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + x + C_{5}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - y = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$