Calcul infinitésimal Exemples

$(y + x) d y = (x - y) d x$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Soustrayez $(x - y) d x$ des deux côtés de l’équation.

$(y + x) d y - (x - y) d x = 0$

Étape 1.2

Réécrivez.

$- (x - y) d x + (y + x) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = - (x - y)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x - y)]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- (x - y)$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [x - y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x - y]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

Étape 2.4

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.7

Multipliez.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.7.2

Multipliez $\frac{d}{d y} [y]$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = y + x$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + x]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 1$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$1 = 1$

Étape 4.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$1 = 1$ est une identité.

Étape 5

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x - y) d x$

Étape 6

Intégrez $M (x, y) = - (x - y)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - \int x - y d x$

Étape 6.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = - (\int x d x + \int - y d x)$

Étape 6.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - y d x)$

Étape 6.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C - y x + C)$

Étape 6.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} + C - y x + C)$

Étape 6.6

Simplifiez

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + C$

Étape 7

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$

Étape 8

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y + x$

Étape 9

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 9.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)] = y + x$

Étape 9.2

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 9.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)] = y + x$

Étape 9.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Étape 9.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)]$ .

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Étape 9.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- (\frac{x^{2}}{2} - y x)$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x]$ .

$- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Étape 9.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{2}}{2} - y x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]$ .

$- (\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Étape 9.3.3

Comme $\frac{x^{2}}{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$- (0 + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Étape 9.3.4

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y x$ par rapport à $y$ est $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$- (0 - x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Étape 9.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (0 - x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Étape 9.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- (0 - x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Étape 9.3.7

Soustrayez $x$ de $0$ .

$- - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Étape 9.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Étape 9.3.9

Multipliez $x$ par $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Étape 9.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = y + x$

Étape 9.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + x = y + x$

Étape 10

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 10.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = y + x - x$

Étape 10.1.2

Associez les termes opposés dans $y + x - x$ .

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Étape 10.1.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

Étape 10.1.2.2

Additionnez $y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

Étape 11

Déterminez la primitive de $y$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 11.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

Étape 11.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

Étape 11.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 12

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 13.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} - (- y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 13.3

Multipliez $- (- y x)$ .

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Étape 13.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + 1 (y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 13.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 13.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{y^{2}}{2} + C$