Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + 5 \csc^{2} (x) + x$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (\frac{2}{x} + 5 \csc^{2} (x) + x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{2}{x} + 5 \csc^{2} (x) + x d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x} + 5 \csc^{2} (x) + x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x + \int 5 \csc^{2} (x) d x + \int x d x$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x + \int 5 \csc^{2} (x) d x + \int x d x$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int 5 \csc^{2} (x) d x + \int x d x$

Étape 2.3.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) + 5 \int \csc^{2} (x) d x + \int x d x$

Étape 2.3.5

Comme la dérivée de $- \cot (x)$ est $\csc^{2} (x)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (x)$ est $- \cot (x)$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) + 5 (- \cot (x) + C_{3}) + \int x d x$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) + 5 (- \cot (x) + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.7

Simplifiez

$y + C_{1} = 2 \ln (| x |) - 5 \cot (x) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Étape 2.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) - 5 \cot (x) + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) - 5 \cot (x) + C$