Calcul infinitésimal Exemples

$y d x = (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Soustrayez $(e^{y} + 2 x y - 2 x) d y$ des deux côtés de l’équation.

$y d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (e^{y} + 2 x y - 2 x)]$

Étape 3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{y} + 2 x y - 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [e^{y} + 2 x y - 2 x]$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{y} + 2 x y - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 3.4

Comme $e^{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $e^{y}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 3.6

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 3.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 3.9

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2 \cdot 1)$

Étape 3.11

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2)$

Étape 3.12

Simplifiez

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Étape 3.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y) - - 2$

Étape 3.12.2

Associez des termes.

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Étape 3.12.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - - 2$

Étape 3.12.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y + 2$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 y + 2$ .

$1 = - 2 y + 2$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$1 = - 2 y + 2$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 y + 2$ .

$\frac{- 2 y + 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ .

$\frac{- 2 y + 2 - 1}{M}$

Étape 5.3

Remplacez $M$ par $y$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $M$ par $y$ .

$\frac{- 2 y + 2 - 1}{y}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{- 2 y + 1}{y}$

Étape 5.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{- (2 y) + 1}{y}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 y) - 1 (- 1)}{y}$

Étape 5.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 y - 1)}{y}$

Étape 5.3.6

Réécrivez $- (2 y - 1)$ comme $- 1 (2 y - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 y - 1)}{y}$

Étape 5.3.7

Remplacez $M$ par $y$ .

$- \frac{2 y - 1}{y}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 y - 1}{y} d y}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2 y - 1}{y} d y}$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 y - 1}{y} d y}$

Étape 6.2

Divisez $2 y - 1$ par $y$ .

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Étape 6.2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$y$

$0$

$2 y$

$1$

Étape 6.2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 y$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

					$2$
	$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$

Étape 6.2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			+	$2 y$	+	$0$

Étape 6.2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 y + 0$

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			-	$2 y$	-	$0$

Étape 6.2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			-	$2 y$	-	$0$
					-	$1$

Étape 6.2.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$μ (x, y) = e^{- \int 2 - \frac{1}{y} d y}$

Étape 6.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$μ (x, y) = e^{- (\int 2 d y + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Étape 6.4

Appliquez la règle de la constante.

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Étape 6.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C - \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 6.6

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C - (\ln (| y |) + C))}$

Étape 6.7

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 y + \ln (| y |)} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $y d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$ par le facteur d’intégration $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $y$ par $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$

Étape 7.2

Multipliez $- (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ par $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - (2 x y) - (- 2 x)) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - 2 (x y) - (- 2 x)) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Étape 7.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - 2 (x y) + 2 x) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Étape 7.5

Appliquez la propriété distributive.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Étape 7.6

Multipliez $e^{y}$ par $e^{- 2 y + \ln (y)}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.6.1

Déplacez $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- (e^{- 2 y + \ln (y)} e^{y}) - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Étape 7.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{- 2 y + \ln (y) + y} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Étape 7.6.3

Additionnez $- 2 y$ et $y$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{- 2 y + \ln (y)} d x$

Étape 9

Intégrez $M (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y e^{- 2 y + \ln (y)} x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- 2 y + \ln (y)}] + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = - 2 y + \ln (y)$ .

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Étape 12.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 y + \ln (y)$ .

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 y + \ln (y)$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 y + \ln (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.3.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.3.7

La dérivée de $\ln (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{y}$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.3.9

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.3.10

Multipliez $e^{- 2 y + \ln (y)}$ par $1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)}) + \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.5

Simplifiez

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Étape 12.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y}))) + x e^{- 2 y + \ln (y)} + \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x y (- 2 + \frac{1}{y}) + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \cdot - 2 + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.5.3.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- 2 y + \ln (y)} x y$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.5.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 12.5.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $e^{- 2 y + \ln (y)} x y$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + y (e^{- 2 y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.5.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + y (e^{- 2 y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.5.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + e^{- 2 y + \ln (y)} x + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.5.3.4

Supprimez les parenthèses.

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + e^{- 2 y + \ln (y)} x + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.5.4

Additionnez $e^{- 2 y + \ln (y)} x$ et $e^{- 2 y + \ln (y)} x$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 12.5.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 13.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 13.1.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Étape 13.1.2

Associez les termes opposés dans $- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

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Étape 13.1.2.1

Additionnez $- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)}$ et $2 x y e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 0 - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Étape 13.1.2.2

Additionnez $2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)}$ et $0$ .

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Étape 13.1.2.3

Soustrayez $2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ de $2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$0 + e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Étape 13.1.2.4

Additionnez $0$ et $e^{- y + \ln (y)}$ .

$e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Étape 13.1.3

Comme $\frac{d g}{d y}$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$

Étape 13.1.4

Divisez chaque terme dans $- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 13.1.4.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Étape 13.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.1.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Étape 13.1.4.2.2

Divisez $\frac{d g}{d y}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Étape 13.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.1.4.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 1 \cdot e^{- y + \ln (y)}$

Étape 13.1.4.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot e^{- y + \ln (y)}$ comme $- e^{- y + \ln (y)}$ .

$\frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$

Étape 14

Déterminez la primitive de $- e^{- y + \ln (y)}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - e^{- y + \ln (y)} d y$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - e^{- y + \ln (y)} d y$

Étape 14.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - \int e^{- y + \ln (y)} d y$

Étape 14.4

Réécrivez $\int e^{- y + \ln (y)} d y$ comme $\int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$ .

$g (y) = - \int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$

Étape 14.5

Réécrivez $e^{\ln (y)}$ comme $y$ .

$g (y) = - \int e^{- y} y d y$

Étape 14.6

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = y$ et $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

Étape 14.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

Étape 14.8

Simplifiez

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Étape 14.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

Étape 14.8.2

Multipliez $\int e^{- y} d y$ par $1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

Étape 14.9

Laissez $u = - y$ . Alors $d u = - d y$ , donc $- d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 14.9.1

Laissez $u = - y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 14.9.1.1

Différenciez $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Étape 14.9.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Étape 14.9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 14.9.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 14.9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

Étape 14.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

Étape 14.11

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

Étape 14.12

Réécrivez $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ comme $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

Étape 14.13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- y$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

Étape 14.14

Simplifiez

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Étape 14.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Étape 14.14.2

Multipliez $- (- y e^{- y})$ .

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Étape 14.14.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Étape 14.14.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

Étape 14.14.3

Multipliez $- - e^{- y}$ .

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Étape 14.14.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

Étape 14.14.3.2

Multipliez $e^{- y}$ par $1$ .

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

Étape 15

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Étape 16

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ .

$f (x, y) = y x e^{- 2 y + \ln (y)} + y e^{- y} + e^{- y} + C$