Calcul infinitésimal Exemples

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = x^{2} - 1$

Étape 1

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $(x + 1) y$ .

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = y$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

Étape 1.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

Étape 1.7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Étape 1.8

Remettez dans l’ordre $y$ et $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Étape 1.9

Multipliez $y$ par $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

Étape 2

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = x^{2} - 1$

Étape 3

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int x^{2} - 1 d x$

Étape 4

Intégrez le côté gauche.

$(x + 1) y = \int x^{2} - 1 d x$

Étape 5

Intégrez le côté droit.

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$(x + 1) y = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Étape 5.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x$

Étape 5.3

Appliquez la règle de la constante.

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} + C - x + C$

Étape 5.4

Simplifiez

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ par $x + 1$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ par $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Étape 6.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Étape 6.3.1.3

Multipliez $\frac{x^{3}}{3}$ par $\frac{1}{x + 1}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Étape 6.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Étape 6.3.2

Pour écrire $- \frac{x}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{C}{x + 1}$

Étape 6.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 (x + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.3.3.1

Multipliez $\frac{x}{x + 1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x \cdot 3}{(x + 1) \cdot 3} + \frac{C}{x + 1}$

Étape 6.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(x + 1) \cdot 3$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Étape 6.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x^{3} - x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Étape 6.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - x \cdot 3$ .

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Étape 6.3.5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2} - x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Étape 6.3.5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \cdot 3$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x (- 1 \cdot 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Étape 6.3.5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (- 1 \cdot 3)$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 1 \cdot 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Étape 6.3.5.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Étape 6.3.6

Pour écrire $\frac{C}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.3.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 (x + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.3.7.1

Multipliez $\frac{C}{x + 1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{(x + 1) \cdot 3}$

Étape 6.3.7.2

Réorganisez les facteurs de $(x + 1) \cdot 3$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Étape 6.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x (x^{2} - 3) + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Étape 6.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Étape 6.3.9.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.9.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.3.9.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x^{1} x^{2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Étape 6.3.9.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{x^{1 + 2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Étape 6.3.9.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{x^{3} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Étape 6.3.9.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 \cdot x + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Étape 6.3.9.4

Déplacez $3$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 x + 3 C}{3 (x + 1)}$