Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x}$ , $y (0) = 4$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = e^{3 x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int e^{3 x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.3.1.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 2.3.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $4$ dans $y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$ .

$4 = \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{3} \cdot e^{3 \cdot 0} + K = 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot e^{3 \cdot 0} + K = 4$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot e^{0} + K = 4$

Étape 4.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + K = 4$

Étape 4.2.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} + K = 4$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $\frac{1}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$K = 4 - \frac{1}{3}$

Étape 4.3.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 4.3.3

Associez $4$ et $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 1}{3}$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$K = \frac{12 - 1}{3}$

Étape 4.3.5.2

Soustrayez $1$ de $12$ .

$K = \frac{11}{3}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $\frac{11}{3}$ dans $y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $\frac{11}{3}$ .

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{11}{3}$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{3 x}$ .

$y = \frac{e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3}$