Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 - 2 y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 - 2 y} \cos (x)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1 - 2 y}{y}$ .

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{y} (\frac{y}{1 - 2 y} \cos (x))$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Associez $\frac{y}{1 - 2 y}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 - 2 y}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $1 - 2 y$ .

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 - 2 y}$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y \cos (x)$ .

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Étape 1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Étape 1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1 - 2 y}{y} d y = \cos (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1 - 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.3.2

Divisez $- 2$ par $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 2 d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 2 d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.5

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} - 2 y + C_{2} = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$\ln (| y |) - 2 y + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$- 2 y + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- 2 y + \ln (| y |) = \sin (x) + C$