Calcul infinitésimal Exemples

$(x + 4 y^{2}) d y + 2 (y d) x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Réécrivez.

$2 y d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x + 4 y^{2}$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Étape 3.4

Comme $4 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$2 = 1$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 = 1$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2$ .

$\frac{1 - 2}{M}$

Étape 5.3

Remplacez $M$ par $2 y$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $M$ par $2 y$ .

$\frac{1 - 2}{2 y}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 1}{2 y}$

Étape 5.3.3

Remplacez $M$ par $2 y$ .

$- \frac{1}{2 y}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 y} d y}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{1}{2 y} d y}$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 y} d y}$

Étape 6.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 6.3

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} (\ln (| y |) + C)}$

Étape 6.4

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} \ln (| y |)} + C$

Étape 6.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.1

Multipliez $- \frac{1}{2} \ln (| y |)$ .

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Étape 6.5.1.1

Remettez dans l’ordre $\ln (| y |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \ln (| y |))} + C$

Étape 6.5.1.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (| y |)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y |}^{\frac{1}{2}})} + C$

Étape 6.5.2

Simplifiez $- \ln ({| y |}^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})} + C$

Étape 6.5.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {({| y |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} + C$

Étape 6.5.4

Multipliez les exposants dans ${({| y |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.5.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} + C$

Étape 6.5.4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{- 1}{2}} + C$

Étape 6.5.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$μ (x, y) = {| y |}^{- \frac{1}{2}} + C$

Étape 6.5.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $2 y d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $2 y$ par $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 y \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.2

Multipliez $2 y \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 7.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$y \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.2.2

Associez $y$ et $\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y \cdot 2}{y^{\frac{1}{2}}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.3

Placez $y^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y \cdot 2 y^{- \frac{1}{2}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.4

Multipliez $y$ par $y^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.4.1

Déplacez $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$y^{- \frac{1}{2}} y \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.4.2

Multipliez $y^{- \frac{1}{2}}$ par $y$ .

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Étape 7.4.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y^{- \frac{1}{2}} y^{1} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.4.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.5

Déplacez $2$ à gauche de $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.6

Multipliez $x + 4 y^{2}$ par $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} d x + (x + 4 y^{2}) \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Étape 7.7

Multipliez $x + 4 y^{2}$ par $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} d x + \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 9

Intégrez $M (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y^{\frac{1}{2}} x$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 x \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3.9

Associez $2$ et $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x \frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3.10

Associez $x$ et $\frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x (2 y^{- \frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3.11

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 \cdot x y^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3.12

Placez $y^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3.13

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3.14

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 13.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 13.1.1

Simplifiez $\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} - \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 13.1.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - (x + 4 y^{2})}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 13.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - (4 y^{2})}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 13.1.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 13.1.1.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 13.1.1.3.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 13.1.1.3.2

Soustrayez $4 y^{2}$ de $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 13.1.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1.4.1

Placez $y^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} = 0$

Étape 13.1.1.4.2

Multipliez $y^{2}$ par $y^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.1.4.2.1

Déplacez $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 (y^{- \frac{1}{2}} y^{2}) = 0$

Étape 13.1.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{- \frac{1}{2} + 2} = 0$

Étape 13.1.1.4.2.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} = 0$

Étape 13.1.1.4.2.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} = 0$

Étape 13.1.1.4.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} = 0$

Étape 13.1.1.4.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1.4.2.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{\frac{- 1 + 4}{2}} = 0$

Étape 13.1.1.4.2.6.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{\frac{3}{2}} = 0$

Étape 13.1.2

Ajoutez $4 y^{\frac{3}{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{\frac{3}{2}}$

Étape 14

Déterminez la primitive de $4 y^{\frac{3}{2}}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 4 y^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y^{\frac{3}{2}} d y$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y^{\frac{3}{2}} d y$

Étape 14.3

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = 4 \int y^{\frac{3}{2}} d y$

Étape 14.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ .

$g (y) = 4 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C)$

Étape 14.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.5.1

Réécrivez $4 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C)$ comme $4 (\frac{2}{5}) y^{\frac{5}{2}} + C$ .

$g (y) = 4 (\frac{2}{5}) y^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 14.5.2

Simplifiez

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Étape 14.5.2.1

Associez $4$ et $\frac{2}{5}$ .

$g (y) = \frac{4 \cdot 2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 14.5.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$g (y) = \frac{8}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 15

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 16

Simplifiez $f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$ .

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Étape 16.1

Associez $\frac{8}{5}$ et $y^{\frac{5}{2}}$ .

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Étape 16.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ .

$f (x, y) = 2 x y^{\frac{1}{2}} + \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$