Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d A}{d t} = 8 A$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{A}$ .

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{A} (8 A)$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = 8 \frac{1}{A} A$

Étape 1.2.2

Associez $8$ et $\frac{1}{A}$ .

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = \frac{8}{A} A$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $A$ .

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Étape 1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = \frac{8}{A} A$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = 8$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{A} d A = 8 d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{A} d A = \int 8 d t$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{A}$ par rapport à $A$ est $\ln (| A |)$ .

$\ln (| A |) + C_{1} = \int 8 d t$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| A |) + C_{1} = 8 t + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| A |) = 8 t + C$

Étape 3

Résolvez $A$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $A$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| A |)} = e^{8 t + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| A |) = 8 t + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{8 t + C} = | A |$

Étape 3.3

Résolvez $A$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| A | = e^{8 t + C}$ .

$| A | = e^{8 t + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$A = \pm e^{8 t + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{8 t + C}$ comme $e^{8 t} e^{C}$ .

$A = \pm e^{8 t} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{8 t}$ et $e^{C}$ .

$A = \pm e^{C} e^{8 t}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$A = C e^{8 t}$