Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + y^{2} \sin (x) = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Soustrayez $y^{2} \sin (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = - y^{2} \sin (x)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (- y^{2} \sin (x))$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \sin (x))$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} (y^{2} \sin (x))$

Étape 1.3.2.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} \sin (x)$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} (y^{2} (\sin (x)))$

Étape 1.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} (y^{2} \sin (x))$

Étape 1.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \sin (x)$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \sin (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \sin (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \sin (x) d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \sin (x) d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \sin (x) d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \sin (x) d x$

Étape 2.2.3

Réécrivez $- y^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \sin (x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \sin (x) d x$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (- \cos (x) + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - - \cos (x) + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 \cos (x) + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \cos (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{y} = \cos (x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, 1$

Étape 3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{y} = \cos (x) + K$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{y} = \cos (x) + K$ par $y$ .

$- \frac{1}{y} y = \cos (x) y + K y$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{y} y = \cos (x) y + K y$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{y} y = \cos (x) y + K y$

Étape 3.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = \cos (x) y + K y$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cos (x) y + K y$ .

$- 1 = y \cos (x) + K y$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $y \cos (x) + K y = - 1$ .

$y \cos (x) + K y = - 1$

Étape 3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $y \cos (x) + K y$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y \cos (x)$ .

$y (\cos (x)) + K y = - 1$

Étape 3.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $K y$ .

$y (\cos (x)) + y K = - 1$

Étape 3.3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y (\cos (x)) + y K$ .

$y (\cos (x) + K) = - 1$

Étape 3.3.3

Divisez chaque terme dans $y (\cos (x) + K) = - 1$ par $\cos (x) + K$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y (\cos (x) + K) = - 1$ par $\cos (x) + K$ .

$\frac{y (\cos (x) + K)}{\cos (x) + K} = \frac{- 1}{\cos (x) + K}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x) + K$ .

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Étape 3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (\cos (x) + K)}{\cos (x) + K} = \frac{- 1}{\cos (x) + K}$

Étape 3.3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{\cos (x) + K}$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{\cos (x) + K}$