Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{2 y}{t^{3}} d t + \frac{1}{t^{2}} d y = 0$

Étape 1

Ajoutez $\frac{2 y}{t^{3}} d t$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{t^{2}} d y = \frac{2 y}{t^{3}} d t$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{t^{2}}{y}$ .

$\frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{1}{t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{2 y}{t^{3}} d t$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez.

$\frac{t^{2} \cdot 1}{y t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{2 y}{t^{3}} d t$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $t^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t^{2} \cdot 1}{y t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{2 y}{t^{3}} d t$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{2 y}{t^{3}} d t$

Étape 3.3

Associez.

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} (2 y)}{y t^{3}} d t$

Étape 3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.1

Factorisez $t^{2}$ à partir de $y t^{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} (2 y)}{t^{2} (y t)} d t$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} (2 y)}{t^{2} (y t)} d t$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 y}{y t} d t$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 y}{y t} d t$

Étape 3.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{t} d t$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{t} d t$

Étape 4.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

Étape 4.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{t}$ par rapport à $t$ est $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

Étape 4.3.3

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| t |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| t |) = C$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $\ln (| y |) - 2 \ln (| t |)$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (| t |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| y |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

Étape 5.2.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| t |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| y |) - \ln (t^{2}) = C$

Étape 5.2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{t^{2}}) = C$

Étape 5.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y |}{t^{2}})} = e^{C}$

Étape 5.4

Réécrivez $\ln (\frac{| y |}{t^{2}}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{t^{2}}$

Étape 5.5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y |}{t^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{t^{2}} = e^{C}$

Étape 5.5.2

Multipliez les deux côtés par $t^{2}$ .

$\frac{| y |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

Étape 5.5.3

Simplifiez

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.3.1.1

Annulez le facteur commun de $t^{2}$ .

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Étape 5.5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

Étape 5.5.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y | = e^{C} t^{2}$

Étape 5.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} t^{2}$ .

$| y | = t^{2} e^{C}$

Étape 5.5.4

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm t^{2} e^{C}$

Étape 6

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm t^{2} C$

Étape 6.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C t^{2}$