Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - y = - y^{2}$

Étape 1

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $y$ .

$y = v^{- 1}$

Étape 3

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Étape 4

Prenez la dérivée de $v^{- 1}$ par rapport à $x$ .

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Étape 4.1

Prenez la dérivée de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.3.1

Multipliez $v$ par $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3.2

Soustrayez $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $- \frac{v'}{v^{2}}$ et $y$ par $v^{- 1}$ dans l’équation d’origine $\frac{d y}{d x} - y = - y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = - {(v^{- 1})}^{2}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d v}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - {(v^{- 1})}^{2}$

Étape 6.1.1.2

Simplifiez $- {(v^{- 1})}^{2}$ .

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Étape 6.1.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Étape 6.1.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - v^{- 1 \cdot 2}$

Étape 6.1.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - v^{- 2}$

Étape 6.1.1.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - \frac{1}{v^{2}}$

Étape 6.1.1.3

Ajoutez $\frac{1}{v}$ aux deux côtés de l’équation.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$

Étape 6.1.1.4

Divisez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.4.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Étape 6.1.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Étape 6.1.1.4.2.2

Divisez $\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ par $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Étape 6.1.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.4.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{1}{v^{2}}}{1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Étape 6.1.1.4.3.1.2

Divisez $\frac{1}{v^{2}}$ par $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Étape 6.1.1.4.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{1}{v}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} - 1 \cdot \frac{1}{v}$

Étape 6.1.1.4.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{1}{v}$ comme $- \frac{1}{v}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}$

Étape 6.1.1.5

Multipliez les deux côtés par $v^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

Étape 6.1.1.6

Simplifiez

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Étape 6.1.1.6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.6.1.1

Annulez le facteur commun de $v^{2}$ .

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Étape 6.1.1.6.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

Étape 6.1.1.6.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

Étape 6.1.1.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.6.2.1

Simplifiez $(\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$ .

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Étape 6.1.1.6.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2} - \frac{1}{v} v^{2}$

Étape 6.1.1.6.2.1.2

Annulez le facteur commun de $v^{2}$ .

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Étape 6.1.1.6.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2} - \frac{1}{v} v^{2}$

Étape 6.1.1.6.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} = 1 - \frac{1}{v} v^{2}$

Étape 6.1.1.6.2.1.3

Annulez le facteur commun de $v$ .

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Étape 6.1.1.6.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{v}$ dans le numérateur.

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} v^{2}$

Étape 6.1.1.6.2.1.3.2

Factorisez $v$ à partir de $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} (v \cdot v)$

Étape 6.1.1.6.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} (v \cdot v)$

Étape 6.1.1.6.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} = 1 - 1 v$

Étape 6.1.1.6.2.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1.6.2.1.4.1

Réécrivez $- 1 v$ comme $- v$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 - v$

Étape 6.1.1.6.2.1.4.2

Remettez dans l’ordre $1$ et $- v$ .

$\frac{d v}{d x} = - v + 1$

Étape 6.1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{- v + 1}$ .

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- v + 1} (- v + 1)$

Étape 6.1.3

Simplifiez

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Étape 6.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{- v + 1}$ par $- v + 1$ .

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 1}{- v + 1}$

Étape 6.1.3.2

Annulez le facteur commun de $- v + 1$ .

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Étape 6.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 1}{- v + 1}$

Étape 6.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = 1$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{- v + 1} d v = 1 d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{- v + 1} d v = \int d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Laissez $u = - v + 1$ . Alors $d u = - d v$ , donc $- d u = d v$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Laissez $u = - v + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d v}$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 6.2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int d x$

Étape 6.2.2.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int d x$

Étape 6.2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Étape 6.2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Étape 6.2.2.5

Simplifiez

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Étape 6.2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- v + 1$ .

$- \ln (| - v + 1 |) + C_{1} = \int d x$

Étape 6.2.3

Appliquez la règle de la constante.

$- \ln (| - v + 1 |) + C_{1} = x + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| - v + 1 |) = x + C$

Étape 6.3

Résolvez $v$ .

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| - v + 1 |) = x + C$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| - v + 1 |) = x + C$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - v + 1 |)}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 6.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (| - v + 1 |)}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 6.3.1.2.2

Divisez $\ln (| - v + 1 |)$ par $1$ .

$\ln (| - v + 1 |) = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x}{- 1}$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - 1 \cdot x + \frac{C}{- 1}$

Étape 6.3.1.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot x$ comme $- x$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - x + \frac{C}{- 1}$

Étape 6.3.1.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - x - 1 \cdot C$

Étape 6.3.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - x - C$

Étape 6.3.2

Pour résoudre $v$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| - v + 1 |)} = e^{- x - C}$

Étape 6.3.3

Réécrivez $\ln (| - v + 1 |) = - x - C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- x - C} = | - v + 1 |$

Étape 6.3.4

Résolvez $v$ .

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Étape 6.3.4.1

Réécrivez l’équation comme $| - v + 1 | = e^{- x - C}$ .

$| - v + 1 | = e^{- x - C}$

Étape 6.3.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$- v + 1 = \pm e^{- x - C}$

Étape 6.3.4.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- v = \pm e^{- x - C} - 1$

Étape 6.3.4.4

Divisez chaque terme dans $- v = \pm e^{- x - C} - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $- v = \pm e^{- x - C} - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- v}{- 1} = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.4.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{v}{1} = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.3.4.4.2.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.4.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.4.4.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\pm e^{- x - C}}{- 1}$ .

$v = - 1 \cdot (\pm e^{- x - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.3.4.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (\pm e^{- x - C})$ comme $- (\pm e^{- x - C})$ .

$v = - (\pm e^{- x - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.3.4.4.3.1.3

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$v = - (\pm e^{- x - C}) + 1$

Étape 6.4

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$v = - (\pm e^{- x + C}) + 1$

Étape 6.4.2

Réécrivez $e^{- x + C}$ comme $e^{- x} e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{- x} e^{C}) + 1$

Étape 6.4.3

Remettez dans l’ordre $e^{- x}$ et $e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{C} e^{- x}) + 1$

Étape 6.4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$v = - (C e^{- x}) + 1$

Étape 7

Remplacez $v$ par $y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = - (C e^{- x}) + 1$