Calcul infinitésimal Exemples

$4 x \frac{d y}{d x} - y = 3 x^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $4 x \frac{d y}{d x} - y = 3 x^{2}$ par $4 x$ .

$\frac{4 x \frac{d y}{d x}}{4 x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x \frac{d y}{d x}}{4 x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Étape 1.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{x (3 x)}{4 x}$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{x (3 x)}{x \cdot 4}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{x (3 x)}{x \cdot 4}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x}{4}$

Étape 1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3}{4} x$

Étape 1.6

Factorisez $y$ à partir de $\frac{- y}{4 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{4 x} = \frac{3}{4} x$

Étape 1.7

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{- 1}{4 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{4 x} y = \frac{3}{4} x$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{- 1}{4 x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{- 1}{4 x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{- 1}{4 x}$ .

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Étape 2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{\int - \frac{1}{4 x} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{4 x} d x}$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$e^{- \frac{1}{4} \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \frac{1}{4} \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- \frac{1}{4}})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- \frac{1}{4}}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{- 1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{- 1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (- \frac{1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{1}{4 x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{y}{4 x} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Étape 3.2.5

Multipliez $- \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{y}{4 x}$ .

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $\frac{y}{4 x}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x \cdot x^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{4}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.5.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 (x^{\frac{1}{4}} x)} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Étape 3.2.5.2.2

Multipliez $x^{\frac{1}{4}}$ par $x$ .

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Étape 3.2.5.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 (x^{\frac{1}{4}} x^{1})} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Étape 3.2.5.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{1}{4} + 1}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Étape 3.2.5.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Étape 3.2.5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{1 + 4}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Étape 3.2.5.2.5

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} x$

Étape 3.4

Associez.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 \cdot 1}{4 x^{\frac{1}{4}}} x$

Étape 3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}} x$

Étape 3.6

Associez $\frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ et $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Étape 3.7

Placez $x^{\frac{1}{4}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Étape 3.8

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{4}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.8.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 (x^{- \frac{1}{4}} x)}{4}$

Étape 3.8.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{4}}$ par $x$ .

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Étape 3.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 (x^{- \frac{1}{4}} x^{1})}{4}$

Étape 3.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{- \frac{1}{4} + 1}}{4}$

Étape 3.8.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{- \frac{1}{4} + \frac{4}{4}}}{4}$

Étape 3.8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{\frac{- 1 + 4}{4}}}{4}$

Étape 3.8.5

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y] = \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y] d x = \int \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \int \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $\frac{3}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{3}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{4} \int x^{\frac{3}{4}} d x$

Étape 7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{4} (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C)$

Étape 7.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.3.1

Réécrivez $\frac{3}{4} (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C)$ comme $\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 7.3.2

Simplifiez

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Étape 7.3.2.1

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{4}{7}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 7.3.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{12}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 7.3.2.3

Multipliez $4$ par $7$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{12}{28} x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 7.3.2.4

Annulez le facteur commun à $12$ et $28$ .

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Étape 7.3.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{4 (3)}{28} x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 7.3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.2.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 7.3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 7.3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ et $y$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 8.2

Associez $\frac{3}{7}$ et $x^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} = \frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C$

Étape 8.3

Multipliez les deux côtés par $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} x^{\frac{1}{4}} = (\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} x^{\frac{1}{4}} = (\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$

Étape 8.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.1

Simplifiez $(\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} x^{\frac{1}{4}} + C x^{\frac{1}{4}}$

Étape 8.4.2.1.2

Multipliez $\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} x^{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 8.4.2.1.2.1

Associez $\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7}$ et $x^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \frac{3 x^{\frac{7}{4}} x^{\frac{1}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Étape 8.4.2.1.2.2

Multipliez $x^{\frac{7}{4}}$ par $x^{\frac{1}{4}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.2.1.2.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \frac{3 (x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{7}{4}})}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Étape 8.4.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{3 x^{\frac{1}{4} + \frac{7}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Étape 8.4.2.1.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{3 x^{\frac{1 + 7}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Étape 8.4.2.1.2.2.4

Additionnez $1$ et $7$ .

$y = \frac{3 x^{\frac{8}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Étape 8.4.2.1.2.2.5

Divisez $8$ par $4$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$