Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d y} = x + y$

Étape 1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d x}{d y} - x = y$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (y) d y}$ , où $P (y) = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 1 d y}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- y + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- y}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} + e^{- y} (- x) = e^{- y} y$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = e^{- y} y$

Étape 3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = e^{- y} y$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - x e^{- y} = y e^{- y}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] = y e^{- y}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d y} [e^{- y} x] d y = \int y e^{- y} d y$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- y} x = \int y e^{- y} d y$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = y$ et $d v = e^{- y}$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y$

Étape 7.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y$

Étape 7.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y$

Étape 7.3.2

Multipliez $\int e^{- y} d y$ par $1$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y$

Étape 7.4

Laissez $u = - y$ . Alors $d u = - d y$ , donc $- d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Laissez $u = - y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1.1

Différenciez $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Étape 7.4.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Étape 7.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 7.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 7.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u$

Étape 7.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u$

Étape 7.6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$

Étape 7.7

Réécrivez $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$ comme $- y e^{- y} - e^{u} + C$ .

$e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{u} + C$

Étape 7.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- y$ .

$e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{- y} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{- y} + C$ par $e^{- y}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{- y} + C$ par $e^{- y}$ .

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{- y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Étape 8.3.1.1.2

Divisez $- y$ par $1$ .

$x = - y + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Étape 8.3.1.2

Annulez le facteur commun de $e^{- y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = - y + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Étape 8.3.1.2.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$x = - y - 1 + \frac{C}{e^{- y}}$