Calcul infinitésimal Exemples

$e^{- y} \sec (x) - \frac{d y}{d x} \cos (x) = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez le côté gauche.

$e^{- y} \sec (x) - \frac{d y}{d x} \cos (x) = 0$

Étape 1.1.2

Soustrayez $e^{- y} \sec (x)$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{d y}{d x} \cos (x) = - e^{- y} \sec (x)$

Étape 1.1.3

Divisez chaque terme dans $- \frac{d y}{d x} \cos (x) = - e^{- y} \sec (x)$ par $- \frac{d y}{d x} \cos (x)$ et simplifiez.

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Étape 1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{d y}{d x} \cos (x) = - e^{- y} \sec (x)$ par $- \frac{d y}{d x} \cos (x)$ .

$\frac{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\frac{d y}{d x} \cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Étape 1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\frac{d y}{d x} \cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Étape 1.1.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Étape 1.1.3.2.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 1.1.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Étape 1.1.3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$1 = \frac{e^{- y} \sec (x)}{\frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Étape 1.1.3.3.2

Séparez les fractions.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Étape 1.1.3.3.3

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$

Étape 1.1.3.3.4

Réécrivez $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ comme un produit.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 1.1.3.3.5

Associez les fractions.

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Étape 1.1.3.3.5.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \cdot \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 1.1.3.3.5.2

Associez.

$1 = \frac{e^{- y} \cdot 1}{\frac{d y}{d x} (\cos (x) \cos (x))}$

Étape 1.1.3.3.5.3

Multipliez $e^{- y}$ par $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cos (x) \cos (x)}$

Étape 1.1.3.3.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.3.3.6.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} (\cos^{1} (x) \cos (x))}$

Étape 1.1.3.3.6.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}$

Étape 1.1.3.3.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} {\cos (x)}^{1 + 1}}$

Étape 1.1.3.3.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cos^{2} (x)}$

Étape 1.1.3.3.7

Multipliez par $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} (\cos^{2} (x) \cdot 1)}$

Étape 1.1.3.3.8

Séparez les fractions.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cdot 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.1.3.3.9

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ à $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cdot 1} \sec^{2} (x)$

Étape 1.1.3.3.10

Multipliez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \sec^{2} (x)$

Étape 1.1.3.3.11

Associez $\frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}}$ et $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}}$

Étape 1.1.4

Réécrivez l’équation comme $\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$ .

$\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$

Étape 1.1.5

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1.5.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$\frac{d y}{d x}, 1$

Étape 1.1.5.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$\frac{d y}{d x}$

Étape 1.1.6

Multiplier chaque terme dans $\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$ par $\frac{d y}{d x}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.1.6.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} \frac{d y}{d x} = 1 \frac{d y}{d x}$

Étape 1.1.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.6.2.1

Annulez le facteur commun de $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} \frac{d y}{d x} = 1 \frac{d y}{d x}$

Étape 1.1.6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{- y} \sec^{2} (x) = 1 \frac{d y}{d x}$

Étape 1.1.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.6.3.1

Multipliez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$e^{- y} \sec^{2} (x) = \frac{d y}{d x}$

Étape 1.1.7

Réécrivez l’équation comme $\frac{d y}{d x} = e^{- y} \sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} \sec^{2} (x)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sec^{2} (x))$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $e^{- y}$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $e^{- y}$ à partir de $e^{- y} \sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sec^{2} (x)))$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sec^{2} (x))$

Étape 1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \sec^{2} (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Inversez l’exposant de $e^{- y}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2.1.2.1.2

Multipliez $- y \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.1.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2.1.2.1.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $e^{y}$ par $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.3

Comme la dérivée de $\tan (x)$ est $\sec^{2} (x)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (x)$ est $\tan (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$e^{y} = \tan (x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln (\tan (x) + K)$

Étape 3.2

Développez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln (\tan (x) + K)$

Étape 3.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\tan (x) + K)$

Étape 3.2.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln (\tan (x) + K)$