Calcul infinitésimal Exemples

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$2 d y = (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 2 d y = \int \frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3 d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$2 y + C_{1} = \int \frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de la constante.

$2 y + C_{1} = (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3) x + C_{2}$

Étape 2.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y + C_{1} = x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$2 y = x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3) + K$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $2 y = x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3) + K$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 y = x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3) + K$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3)}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3)}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3)}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1.1

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{d x^{2}}{d x^{2}}$ .

$y = \frac{x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3 \cdot \frac{d x^{2}}{d x^{2}})}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.3.1.1.2

Associez $- 3$ et $\frac{d x^{2}}{d x^{2}}$ .

$y = \frac{x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} + \frac{- 3 d x^{2}}{d x^{2}})}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.3.1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x \frac{4 d^{7} y - 3 d x^{2}}{d x^{2}}}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.3.1.2

Associez $x$ et $\frac{4 d^{7} y - 3 d x^{2}}{d x^{2}}$ .

$y = \frac{\frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2})}{d x^{2}}}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.3.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2})}{d x^{2}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $\frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2})}{d x^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2})}{d x^{2} \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.3.1.5

Déplacez $2$ à gauche de $d x^{2}$ .

$y = \frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2})}{2 d x^{2}} + \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2

Pour écrire $\frac{K}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{d x^{2}}{d x^{2}}$ .

$y = \frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2})}{2 d x^{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{d x^{2}}{d x^{2}}$

Étape 3.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $\frac{K}{2}$ par $\frac{d x^{2}}{d x^{2}}$ .

$y = \frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2})}{2 d x^{2}} + \frac{K d x^{2}}{2 d x^{2}}$

Étape 3.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2}) + K d x^{2}}{2 d x^{2}}$

Étape 3.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x (4 d^{7} y) + x (- 3 d x^{2}) + K d x^{2}}{2 d x^{2}}$

Étape 3.3.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{4 x d^{7} y + x (- 3 d x^{2}) + K d x^{2}}{2 d x^{2}}$

Étape 3.3.4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{4 x d^{7} y - 3 x d x^{2} + K d x^{2}}{2 d x^{2}}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{4 x d^{7} y - 3 x d x^{2} + K}{2 d x^{2}}$