Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{3} + \frac{y}{x}) d x + (y^{2} + \ln (x)) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x^{3} + \frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} + \frac{y}{x}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + \frac{y}{x}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Étape 1.2.2

Comme $x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{3}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $\frac{1}{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y}{x}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x} \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x}$

Étape 1.4

Additionnez $0$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = y^{2} + \ln (x)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (x)]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.2.2

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{x}$

Étape 2.4

Additionnez $0$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $\frac{1}{x}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} + \ln (x) d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = y^{2} + \ln (x)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int y^{2} d y + \int \ln (x) d y$

Étape 5.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + C + \int \ln (x) d y$

Étape 5.3

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + C + \ln (x) y + C$

Étape 5.4

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{3} + \frac{y}{x}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Étape 8.2

Différenciez.

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Étape 8.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Étape 8.2.2

Comme $\frac{1}{3} y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} y^{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (x) y]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\ln (x) y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$0 + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Étape 8.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$0 + y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Étape 8.3.3

Associez $y$ et $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = x^{3} + \frac{y}{x}$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Additionnez $0$ et $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = x^{3} + \frac{y}{x}$

Étape 8.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = x^{3} + \frac{y}{x}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1.1.1

Soustrayez $x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - x^{3} = \frac{y}{x}$

Étape 9.1.1.2

Soustrayez $\frac{y}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - x^{3} - \frac{y}{x} = 0$

Étape 9.1.1.3

Associez les termes opposés dans $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - x^{3} - \frac{y}{x}$ .

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Étape 9.1.1.3.1

Soustrayez $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{3} + 0 = 0$

Étape 9.1.1.3.2

Additionnez $\frac{d g}{d x} - x^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{3} = 0$

Étape 9.1.2

Ajoutez $x^{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = x^{3}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $x^{3}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{3} d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{3} d x$

Étape 10.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Étape 12

Simplifiez $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} + \ln (x) y + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Étape 12.1.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} + \ln (x) y + \frac{x^{4}}{4} + C$

Étape 12.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} + \ln (x) y + \frac{x^{4}}{4} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} + y \ln (x) + \frac{x^{4}}{4} + C$