Calcul infinitésimal Exemples

$y d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - 4 (x + y^{6})$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 4 (x + y^{6})]$

Étape 2.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 (x + y^{6})$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x + y^{6}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 \frac{d}{d x} [x + y^{6}]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (1 + \frac{d}{d x} [y^{6}])$

Étape 2.5

Comme $y^{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{6}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (1 + 0)$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 \cdot 1$

Étape 2.6.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 4$ .

$1 = - 4$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$1 = - 4$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ .

$\frac{- 4 - 1}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $y$ .

$\frac{- 4 - 1}{y}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

$\frac{- 5}{y}$

Étape 4.3.3

Remplacez $M$ par $y$ .

$- \frac{5}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{5}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{y} d y}$

Étape 5.2

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (5 \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 5.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 5 \ln (| y |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 5 \ln (| y |)$ en déplaçant $- 5$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 5})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 5} + C$

Étape 5.6.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{5}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $y d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{5}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $y$ par $\frac{1}{y^{5}}$ .

$y \frac{1}{y^{5}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{5}$ .

$y \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $- 4 (x + y^{6})$ par $\frac{1}{y^{5}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y^{4}} d x + (- 4 x - 4 y^{6}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $- 4 x - 4 y^{6}$ par $\frac{1}{y^{5}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{- 4 x - 4 y^{6}}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.6

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x - 4 y^{6}$ .

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Étape 6.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x) - 4 y^{6}}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.6.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 y^{6}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x) + 4 (- y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.6.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x) + 4 (- y^{6})$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x - y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x) - y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{6}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x) - (y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (y^{6})$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x + y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.10

Réécrivez $- (x + y^{6})$ comme $- 1 (x + y^{6})$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- 1 (x + y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{y^{4}} d x - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y^{4}} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = \frac{1}{y^{4}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} x + C$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{y^{4}}$ et $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}} + g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x}{y^{4}} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x}{y^{4}}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\frac{1}{y^{4}}$ comme ${(y^{4})}^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{- 1}$ et $g (y) = y^{4}$ .

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Étape 11.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y^{4}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Étape 11.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Étape 11.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{4}$ .

$x (- {(y^{4})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Étape 11.3.5

Multipliez les exposants dans ${(y^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 11.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (- y^{4 \cdot - 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Étape 11.3.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$x (- y^{- 8} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Étape 11.3.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x (- 4 y^{- 8} y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Étape 11.3.7

Multipliez $y^{- 8}$ par $y^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.3.7.1

Déplacez $y^{3}$ .

$x (- 4 (y^{3} y^{- 8})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Étape 11.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x (- 4 y^{3 - 8}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Étape 11.3.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$x (- 4 y^{- 5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 4 y^{- 5}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Étape 11.5.2

Associez des termes.

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Étape 11.5.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{y^{5}}$ .

$x \frac{- 4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Étape 11.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (- \frac{4}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Étape 11.5.2.3

Associez $x$ et $\frac{4}{y^{5}}$ .

$- \frac{x \cdot 4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Étape 11.5.2.4

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$- \frac{4 x}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Étape 11.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} - \frac{4 x}{y^{5}} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1.1.1

Ajoutez $\frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - \frac{4 x}{y^{5}} + \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}} = 0$

Étape 12.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 x + 4 (x + y^{6})}{y^{5}} = 0$

Étape 12.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 x + 4 x + 4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

Étape 12.1.1.4

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

Étape 12.1.1.5

Additionnez $0$ et $4 y^{6}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

Étape 12.1.1.6

Annulez le facteur commun à $y^{6}$ et $y^{5}$ .

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Étape 12.1.1.6.1

Factorisez $y^{5}$ à partir de $4 y^{6}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5}} = 0$

Étape 12.1.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1.1.6.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5} \cdot 1} = 0$

Étape 12.1.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5} \cdot 1} = 0$

Étape 12.1.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d y} + \frac{4 y}{1} = 0$

Étape 12.1.1.6.2.4

Divisez $4 y$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 4 y = 0$

Étape 12.1.2

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = - 4 y$

Étape 13

Déterminez la primitive de $- 4 y$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 4 y d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 4 y d y$

Étape 13.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - 4 \int y d y$

Étape 13.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 13.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.5.1

Réécrivez $- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Étape 13.5.2

Simplifiez

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Étape 13.5.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 4}{2} y^{2} + C$

Étape 13.5.2.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 13.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2} y^{2} + C$

Étape 13.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} y^{2} + C$

Étape 13.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Étape 13.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (y) = \frac{- 2}{1} y^{2} + C$

Étape 13.5.2.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$g (y) = - 2 y^{2} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} - 2 y^{2} + C$