Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y \frac{d y}{d x} = e^{y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} y \frac{d y}{d x} = e^{y}$ par $x^{2} y$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} y \frac{d y}{d x} = e^{y}$ par $x^{2} y$ .

$\frac{x^{2} y \frac{d y}{d x}}{x^{2} y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y \frac{d y}{d x}}{x^{2} y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

Étape 1.1.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{y}{e^{y}}$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y}} (\frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Associez.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y}} \cdot \frac{e^{y} \cdot 1}{y x^{2}}$

Étape 1.4.2

Associez.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (e^{y} \cdot 1)}{e^{y} (y x^{2})}$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (e^{y} \cdot 1)}{e^{y} (y x^{2})}$

Étape 1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y} \cdot 1}{e^{y} (x^{2})}$

Étape 1.4.4

Annulez le facteur commun de $e^{y}$ .

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Étape 1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y} \cdot 1}{e^{y} x^{2}}$

Étape 1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Inversez l’exposant de $e^{y}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$\int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.2.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\int y e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = y$ et $d v = e^{- y}$ .

$y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $\int e^{- y} d y$ par $1$ .

$y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.5

Laissez $u = - y$ . Alors $d u = - d y$ , donc $- d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.5.1

Laissez $u = - y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.5.1.1

Différenciez $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.2.5.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 2.2.5.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.8

Réécrivez $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1})$ comme $- y e^{- y} - e^{u} + C_{1}$ .

$- y e^{- y} - e^{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- y$ .

$- y e^{- y} - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Étape 2.3.3

Réécrivez $- x^{- 1} + C_{2}$ comme $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} = - \frac{1}{x} + K$