Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (4 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 4 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 4 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 6 x^{2} d x + \int 9 x d x$

Étape 2.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 6 x^{2} d x + \int 9 x d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 6 x^{2} d x + \int 9 x d x$

Étape 2.3.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 6 \int x^{2} d x + \int 9 x d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 9 x d x$

Étape 2.3.6

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 9 \int x d x$

Étape 2.3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 9 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Étape 2.3.8

Simplifiez

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Étape 2.3.8.1

Simplifiez

$y + C_{1} = x^{4} - 2 x^{3} + 9 (\frac{1}{2} x^{2}) + C_{5}$

Étape 2.3.8.2

Simplifiez

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Étape 2.3.8.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y + C_{1} = x^{4} - 2 x^{3} + 9 \frac{x^{2}}{2} + C_{5}$

Étape 2.3.8.2.2

Associez $9$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y + C_{1} = x^{4} - 2 x^{3} + \frac{9 x^{2}}{2} + C_{5}$

Étape 2.3.8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = x^{4} - 2 x^{3} + \frac{9}{2} x^{2} + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} + \frac{9}{2} x^{2} + K$