Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - y = 2 e^{x} y^{2}$

Étape 1

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $y$ .

$y = v^{- 1}$

Étape 3

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Étape 4

Prenez la dérivée de $v^{- 1}$ par rapport à $x$ .

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Étape 4.1

Prenez la dérivée de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.3.1

Multipliez $v$ par $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3.2

Soustrayez $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $- \frac{v'}{v^{2}}$ et $y$ par $v^{- 1}$ dans l’équation d’origine $\frac{d y}{d x} - y = 2 e^{x} y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Multiplier chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ par $- v^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.1.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ par $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $v^{2}$ .

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Étape 6.1.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2.1.1.2

Factorisez $v^{2}$ à partir de $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2.1.3

Multipliez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2.1.5

Multipliez $v^{- 1}$ par $v^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.2.1.5.1

Déplacez $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2.1.5.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2.1.6

Simplifiez $- 1 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.2.1.8

Multipliez $v$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.3.1

Multipliez les exposants dans ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Étape 6.1.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

Étape 6.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{- 2} (- v^{2})$

Étape 6.1.3.2

Multipliez $v^{- 2}$ par $v^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.3.2.1

Déplacez $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

Étape 6.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{2 - 2} \cdot - 1$

Étape 6.1.3.2.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{0} \cdot - 1$

Étape 6.1.3.3

Simplifiez $2 e^{x} v^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} \cdot - 1$

Étape 6.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - 2 e^{x}$

Étape 6.2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 1$ .

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Étape 6.2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int d x}$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{x + C}$

Étape 6.2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{x}$

Étape 6.3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{x}$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez chaque terme par $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} (- 2 e^{x})$

Étape 6.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{x} e^{x}$

Étape 6.3.3

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.3.1

Déplacez $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 (e^{x} e^{x})$

Étape 6.3.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{x + x}$

Étape 6.3.3.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{2 x}$

Étape 6.3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{2 x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = - 2 e^{2 x}$

Étape 6.4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = - 2 e^{2 x}$

Étape 6.5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int - 2 e^{2 x} d x$

Étape 6.6

Intégrez le côté gauche.

$e^{x} v = \int - 2 e^{2 x} d x$

Étape 6.7

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.7.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x} v = - 2 \int e^{2 x} d x$

Étape 6.7.2

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.7.2.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.7.2.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 6.7.2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.7.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 6.7.2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 6.7.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{x} v = - 2 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 6.7.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} v = - 2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 6.7.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x} v = - 2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Étape 6.7.5

Simplifiez

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Étape 6.7.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$e^{x} v = \frac{- 2}{2} \int e^{u} d u$

Étape 6.7.5.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 6.7.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$e^{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{u} d u$

Étape 6.7.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.7.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Étape 6.7.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Étape 6.7.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{x} v = \frac{- 1}{1} \int e^{u} d u$

Étape 6.7.5.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$e^{x} v = - \int e^{u} d u$

Étape 6.7.6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{x} v = - (e^{u} + C)$

Étape 6.7.7

Simplifiez

$e^{x} v = - e^{u} + C$

Étape 6.7.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$e^{x} v = - e^{2 x} + C$

Étape 6.8

Divisez chaque terme dans $e^{x} v = - e^{2 x} + C$ par $e^{x}$ et simplifiez.

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Étape 6.8.1

Divisez chaque terme dans $e^{x} v = - e^{2 x} + C$ par $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 6.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 6.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 6.8.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{- e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 6.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.8.3.1

Annulez le facteur commun à $e^{2 x}$ et $e^{x}$ .

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Étape 6.8.3.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{2 x}$ .

$v = \frac{e^{x} (- e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 6.8.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.8.3.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$v = \frac{e^{x} (- e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 6.8.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$v = \frac{e^{x} (- e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 6.8.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$v = \frac{- e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 6.8.3.1.2.4

Divisez $- e^{x}$ par $1$ .

$v = - e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7

Remplacez $v$ par $y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = - e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$