Calcul infinitésimal Exemples

$x d y + (x y + y - 1) d x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez.

$(x y + y - 1) d x + x d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x y + y - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + y - 1]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y + y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.4

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.4.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + 0$

Étape 2.4.3

Additionnez $x + 1$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x + 1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$x + 1 = 1$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$x + 1 = 1$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x + 1$ .

$\frac{x + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$\frac{x + 1 - 1}{N}$

Étape 5.3

Remplacez $N$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Remplacez $N$ par $x$ .

$\frac{x + 1 - 1}{x}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{x + 0}{x}$

Étape 5.3.2.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{x}{x}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{x}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$1$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Appliquez la règle de la constante.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Étape 6.2

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $(x y + y - 1) d x + x d y = 0$ par le facteur d’intégration $e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Multipliez $x y + y - 1$ par $e^{x}$ .

$(x y + y - 1) e^{x} d x + x d y = 0$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x y e^{x} + y e^{x} - 1 e^{x}) d x + x d y = 0$

Étape 7.3

Réécrivez $- 1 e^{x}$ comme $- e^{x}$ .

$(x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}) d x + x d y = 0$

Étape 7.4

Multipliez $x$ par $e^{x}$ .

$(x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}) d x + x e^{x} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} d y$

Étape 9

Intégrez $N (x, y) = x e^{x}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x e^{x} y + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + g (x)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y + g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x e^{x} y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x e^{x} y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x e^{x} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Étape 12.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Étape 12.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Étape 12.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Étape 12.3.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Étape 12.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Étape 12.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Étape 12.5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Soustrayez $x y e^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x}$

Étape 13.1.2

Soustrayez $y e^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

Étape 13.1.3

Associez les termes opposés dans $x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.3.1

Soustrayez $x y e^{x}$ de $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + y e^{x} - e^{x} - y e^{x}$

Étape 13.1.3.2

Additionnez $0$ et $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} - e^{x} - y e^{x}$

Étape 13.1.3.3

Soustrayez $y e^{x}$ de $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 - e^{x}$

Étape 13.1.3.4

Soustrayez $e^{x}$ de $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - e^{x}$

Étape 14

Déterminez la primitive de $- e^{x}$ afin de déterminer $g (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = - e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - e^{x} d x$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - e^{x} d x$

Étape 14.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - \int e^{x} d x$

Étape 14.4

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$g (x) = - (e^{x} + C)$

Étape 14.5

Simplifiez

$g (x) = - e^{x} + C$

Étape 15

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x e^{x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y - e^{x} + C$

Étape 16

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = x e^{x} y - e^{x} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x} - e^{x} + C$