Calcul infinitésimal Exemples

$4 x y^{2} d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $4 x y^{2} d x$ des deux côtés de l’équation.

$(x^{2} + 1) d y = - 4 x y^{2} d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2})} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - 4 \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Étape 3.3

Associez $- 4$ et $\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $(x^{2} + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (x y^{2}) d x$

Étape 3.4.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (y^{2} x) d x$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (y^{2} x) d x$

Étape 3.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{x^{2} + 1} x d x$

Étape 3.5

Associez $\frac{- 4}{x^{2} + 1}$ et $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.2.1.1

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.2.3

Réécrivez $- y^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Étape 4.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.3.4

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.4.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.3.4.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 4.3.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.4.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 4.3.4.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 4.3.5

Simplifiez

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 4.3.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 4.3.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 4.3.7

Simplifiez

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Étape 4.3.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.7.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 4.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.7.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 4.3.9

Simplifiez

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 4.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{y} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Simplifiez $- 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, 1$

Étape 5.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$ par $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

Étape 5.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Retirez la valeur absolue dans ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) y + C y$

Étape 5.3.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) y + C y$ .

$- 1 = - y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 5.4.1

Réécrivez l’équation comme $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y = - 1$ .

$- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y = - 1$

Étape 5.4.2

Factorisez $y$ à partir de $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y$ .

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + C y = - 1$

Étape 5.4.2.2

Factorisez $y$ à partir de $C y$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + y C = - 1$

Étape 5.4.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + y C$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$

Étape 5.4.3

Réécrivez $- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ comme $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ .

$y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$

Étape 5.4.4

Divisez chaque terme dans $y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$ par $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ et simplifiez.

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Étape 5.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$ par $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ .

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

Étape 5.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ .

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Étape 5.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

Étape 5.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

Étape 5.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

Étape 5.4.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + C}$

Étape 5.4.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $C$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) - 1 (- C)}$

Étape 5.4.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) - 1 (- C)$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)}$

Étape 5.4.4.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.4.3.5.1

Réécrivez $- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)$ comme $- 1 (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)}$

Étape 5.4.4.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - - \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

Étape 5.4.4.3.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

Étape 5.4.4.3.5.4

Multipliez $\frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$