Calcul infinitésimal Exemples

$3 \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = 2 x^{4} y^{4}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de Bernoulli.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $3 \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = 2 x^{4} y^{4}$ par $3$ .

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} + \frac{\frac{3}{x} y}{3} = \frac{2 x^{4} y^{4}}{3}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} + \frac{\frac{3}{x} y}{3} = \frac{2 x^{4} y^{4}}{3}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{3}{x} y}{3} = \frac{2 x^{4} y^{4}}{3}$

Étape 1.3

Associez $\frac{3}{x}$ et $y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$

Étape 1.4

Factorisez $y$ à partir de $\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x}) = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} y = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$

Étape 2

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $y^{4}$ .

$v = y^{- 3}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

Étape 4

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

Étape 5

Prenez la dérivée de $v^{- \frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ .

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Étape 5.1

Prenez la dérivée de $v^{- \frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 5.4.2

Multipliez les exposants dans ${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Étape 5.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Étape 5.4.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.4.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.4.1

Multipliez $v^{\frac{1}{3}}$ par $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.4.4.2

Soustrayez $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.4.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = v$ .

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Étape 5.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.9.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.11

Associez $\frac{1}{3}$ et $v^{- \frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.12

Placez $v^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.13

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.14

Associez $\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ et $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.15

Réécrivez $\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ comme un produit.

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

Étape 5.16

Multipliez $\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.17

Multipliez $v^{\frac{2}{3}}$ par $v^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.17.1

Déplacez $v^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

Étape 5.17.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Étape 5.17.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Étape 5.17.4

Additionnez $2$ et $2$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

Étape 6

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ et $y$ par $v^{- \frac{1}{3}}$ dans l’équation d’origine $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} y = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$ .

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

Étape 7

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Étape 7.1.1

Multiplier chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ par $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 7.1.1.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ par $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3 v^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 7.1.1.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ dans le numérateur.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.1.2

Factorisez $3 v^{\frac{4}{3}}$ à partir de $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.3

Multipliez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.4

Multipliez $v^{- \frac{1}{3}}$ par $v^{\frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.1.2.1.4.1

Déplacez $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.4.4

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.4.5

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.5

Simplifiez $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.1.1.2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.7

Associez $\frac{1}{x}$ et $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.8

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} \cdot - 3 = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.9

Associez $\frac{v}{x}$ et $- 3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v \cdot - 3}{x} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.10

Déplacez $- 3$ à gauche de $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 3 \cdot v}{x} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1.1.3.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{4}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 1 \cdot 3 \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 7.1.1.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.1.1.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 1 \cdot 3$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 3 \cdot - 1 \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 7.1.1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 3 \cdot - 1 \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 7.1.1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - (2 x^{4}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 7.1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1.1.3.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 7.1.1.3.4.2

Multipliez les exposants dans ${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ .

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Étape 7.1.1.3.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 7.1.1.3.4.2.2

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot 4$ .

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Étape 7.1.1.3.4.2.2.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 7.1.1.3.4.2.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 7.1.1.3.4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 7.1.1.3.5

Multipliez $v^{- \frac{4}{3}}$ par $v^{\frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.1.3.5.1

Déplacez $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

Étape 7.1.1.3.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

Étape 7.1.1.3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{4 - 4}{3}}$

Étape 7.1.1.3.5.4

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{0}{3}}$

Étape 7.1.1.3.5.5

Divisez $0$ par $3$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{0}$

Étape 7.1.1.3.6

Simplifiez $- 2 x^{4} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4}$

Étape 7.1.2

Factorisez $v$ à partir de $- \frac{3 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{3}{x}) = - 2 x^{4}$

Étape 7.1.3

Remettez dans l’ordre $v$ et $- \frac{3}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v = - 2 x^{4}$

Étape 7.2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - \frac{3}{x}$ .

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Étape 7.2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Étape 7.2.2

Intégrez $- \frac{3}{x}$ .

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Étape 7.2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Étape 7.2.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 7.2.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 7.2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 7.2.2.5

Simplifiez

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

Étape 7.2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 3 \ln (x)}$

Étape 7.2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 3})}$

Étape 7.2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 3}$

Étape 7.2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}}$

Étape 7.3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} v) = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.2.1

Associez $\frac{1}{x^{3}}$ et $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} v) = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Étape 7.3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} v) = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Étape 7.3.2.3

Associez $\frac{3}{x}$ et $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 v}{x} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Étape 7.3.2.4

Multipliez $- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 v}{x}$ .

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Étape 7.3.2.4.1

Multipliez $\frac{3 v}{x}$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Étape 7.3.2.4.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.3.2.4.2.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 7.3.2.4.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Étape 7.3.2.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Étape 7.3.2.4.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Étape 7.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = - 2 \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

Étape 7.3.4

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{- 2}{x^{3}} x^{4}$

Étape 7.3.5

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 7.3.5.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{- 2}{x^{3}} (x^{3} x)$

Étape 7.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{- 2}{x^{3}} (x^{3} x)$

Étape 7.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = - 2 x$

Étape 7.4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} v] = - 2 x$

Étape 7.5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} v] d x = \int - 2 x d x$

Étape 7.6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x^{3}} v = \int - 2 x d x$

Étape 7.7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.7.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x^{3}} v = - 2 \int x d x$

Étape 7.7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 7.7.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.7.3.1

Réécrivez $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Étape 7.7.3.2

Simplifiez

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Étape 7.7.3.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Étape 7.7.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 7.7.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Étape 7.7.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.7.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Étape 7.7.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Étape 7.7.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Étape 7.7.3.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = - x^{2} + C$

Étape 7.8

Résolvez $v$ .

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Étape 7.8.1

Associez $\frac{1}{x^{3}}$ et $v$ .

$\frac{v}{x^{3}} = - x^{2} + C$

Étape 7.8.2

Multipliez les deux côtés par $x^{3}$ .

$\frac{v}{x^{3}} x^{3} = (- x^{2} + C) x^{3}$

Étape 7.8.3

Simplifiez

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Étape 7.8.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 7.8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{v}{x^{3}} x^{3} = (- x^{2} + C) x^{3}$

Étape 7.8.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$v = (- x^{2} + C) x^{3}$

Étape 7.8.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.8.3.2.1

Simplifiez $(- x^{2} + C) x^{3}$ .

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Étape 7.8.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$v = - x^{2} x^{3} + C x^{3}$

Étape 7.8.3.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.8.3.2.1.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$v = - (x^{3} x^{2}) + C x^{3}$

Étape 7.8.3.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$v = - x^{3 + 2} + C x^{3}$

Étape 7.8.3.2.1.2.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$v = - x^{5} + C x^{3}$

Étape 8

Remplacez $v$ par $y^{- 3}$ .

$y^{- 3} = - x^{5} + C x^{3}$