Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = {(y - 1)}^{2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{{(y - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} {(y - 1)}^{2}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de ${(y - 1)}^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} {(y - 1)}^{2}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = 1 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = \int d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = y - 1$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = y - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int d x$

Étape 2.2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.2.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int d x$

Étape 2.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int d x$

Étape 2.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int d x$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.4

Réécrivez $- u^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = \int d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{y - 1} = x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y - 1, 1, 1$

Étape 3.1.2

Supprimez les parenthèses.

$y - 1, 1, 1$

Étape 3.1.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y - 1$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{y - 1} = x + K$ par $y - 1$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{y - 1} = x + K$ par $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) + K (y - 1)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y - 1}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) + K (y - 1)$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) + K (y - 1)$

Étape 3.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = x (y - 1) + K (y - 1)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 = x y + x \cdot - 1 + K (y - 1)$

Étape 3.2.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$- 1 = x y - 1 \cdot x + K (y - 1)$

Étape 3.2.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- 1 = x y - x + K (y - 1)$

Étape 3.2.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 = x y - x + K y + K \cdot - 1$

Étape 3.2.3.1.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $K$ .

$- 1 = x y - x + K y - 1 \cdot K$

Étape 3.2.3.1.6

Réécrivez $- 1 K$ comme $- K$ .

$- 1 = x y - x + K y - K$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $x y - x + K y - K = - 1$ .

$x y - x + K y - K = - 1$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$x y + K y - K = - 1 + x$

Étape 3.3.2.2

Ajoutez $K$ aux deux côtés de l’équation.

$x y + K y = - 1 + x + K$

Étape 3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $x y + K y$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$y x + K y = - 1 + x + K$

Étape 3.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $K y$ .

$y x + y K = - 1 + x + K$

Étape 3.3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y x + y K$ .

$y (x + K) = - 1 + x + K$

Étape 3.3.4

Divisez chaque terme dans $y (x + K) = - 1 + x + K$ par $x + K$ et simplifiez.

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Étape 3.3.4.1

Divisez chaque terme dans $y (x + K) = - 1 + x + K$ par $x + K$ .

$\frac{y (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K} + \frac{x}{x + K} + \frac{K}{x + K}$

Étape 3.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x + K$ .

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Étape 3.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K} + \frac{x}{x + K} + \frac{K}{x + K}$

Étape 3.3.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{x + K} + \frac{x}{x + K} + \frac{K}{x + K}$

Étape 3.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{x + K} + \frac{x}{x + K} + \frac{K}{x + K}$

Étape 3.3.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 1 + x}{x + K} + \frac{K}{x + K}$

Étape 3.3.4.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 1 + x + K}{x + K}$

Étape 3.3.4.3.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) + x + K}{x + K}$

Étape 3.3.4.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 1 (- x) + K}{x + K}$

Étape 3.3.4.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- x)$ .

$y = \frac{- 1 (1 - x) + K}{x + K}$

Étape 3.3.4.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $K$ .

$y = \frac{- 1 (1 - x) - 1 (- K)}{x + K}$

Étape 3.3.4.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1 - x) - 1 (- K)$ .

$y = \frac{- 1 (1 - x - K)}{x + K}$

Étape 3.3.4.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1 - x - K}{x + K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \frac{1 - x + K}{x + K}$