Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x + 3) \frac{d y}{d x} = y + {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$(2 x + 3) \frac{d y}{d x} - y = {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $(2 x + 3) \frac{d y}{d x} - y = {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ par $2 x + 3$ .

$\frac{(2 x + 3) \frac{d y}{d x}}{2 x + 3} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 x + 3}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $2 x + 3$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x + 3) \frac{d y}{d x}}{2 x + 3} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 x + 3}$

Étape 1.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 x + 3}$

Étape 1.4

Factorisez $2 x + 3$ à partir de ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2 x + 3}$

Étape 1.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{(2 x + 3) \cdot 1}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{(2 x + 3) \cdot 1}$

Étape 1.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{{(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Étape 1.5.4

Divisez ${(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.6

Factorisez $y$ à partir de $\frac{- y}{2 x + 3}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{2 x + 3} = {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.7

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{- 1}{2 x + 3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2 x + 3} y = {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{- 1}{2 x + 3}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{- 1}{2 x + 3} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{- 1}{2 x + 3}$ .

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Étape 2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{\int - \frac{1}{2 x + 3} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{2 x + 3} d x}$

Étape 2.2.3

Laissez $u = 2 x + 3$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.3.1

Laissez $u = 2 x + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Différenciez $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Étape 2.2.3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.2.3.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.3.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.3.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.2.3.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.2.3.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Étape 2.2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$e^{- \int \frac{1}{2 u} d u}$

Étape 2.2.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Étape 2.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C}$

Étape 2.2.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 3$ .

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 3 |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (2 x + 3)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln ({(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 1}{2 x + 3} y) = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 1}{2 x + 3} y) = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x + 3} y) = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x + 3} y) = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{1}{2 x + 3}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x + 3} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3.2.5

Multipliez $- \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x + 3}$ .

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $\frac{y}{2 x + 3}$ par $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $2 x + 3$ par ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.5.2.1

Multipliez $2 x + 3$ par ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.2.5.2.1.1

Élevez $2 x + 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{1} {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3.2.5.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3.2.5.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3.2.5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{2 + 1}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3.2.5.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de ${(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez ${(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ à partir de ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{1}}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y] = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{1}}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y] d x = \int \frac{1}{{(2 x + 3)}^{1}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{{(2 x + 3)}^{1}} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Simplifiez

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{2 x + 3} d x$

Étape 7.2

Laissez $u = 2 x + 3$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.2.1

Laissez $u = 2 x + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.2.1.1

Différenciez $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Étape 7.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 7.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 7.2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 7.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 7.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 7.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 7.2.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 7.2.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 7.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 7.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 7.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 7.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Étape 7.6

Simplifiez

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Étape 7.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 3$ .

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 3 |) + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $y$ .

$\frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 3 |) + C$

Étape 8.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 3 |)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = \ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 8.3

Multipliez les deux côtés par ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} = (\ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.1.1

Annulez le facteur commun de ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} = (\ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.1

Simplifiez $(\ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + C {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.4.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.4.2.1.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + C {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.4.2.1.2.2

Remettez dans l’ordre ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}})$ et $C {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = C {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}})$