Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d h}{d t} = \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d h = \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d h = \int \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$h + C_{1} = \int \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $17.6$ est constant par rapport à $t$ , placez $17.6$ en dehors de l’intégrale.

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 17.6 t^{2} + 1$ . Alors $d u = 35.2 t d t$ , donc $\frac{1}{35.2} d u = t d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 17.6 t^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $17.6 t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [17.6 t^{2} + 1]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $17.6 t^{2} + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 2.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}]$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Comme $17.6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $17.6 t^{2}$ par rapport à $t$ est $17.6 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$17.6 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$17.6 (2 t) + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 2.3.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $17.6$ .

$35.2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.2.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$35.2 t + 0$

Étape 2.3.2.1.4.2

Additionnez $35.2 t$ et $0$ .

$35.2 t$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{35.2} d u$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{35.2}$ .

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 35.2} d u$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $35.2$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{35.2 \sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{35.2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{35.2}$ en dehors de l’intégrale.

$h + C_{1} = 17.6 (\frac{1}{35.2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Étape 2.3.5

Associez les fractions.

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{35.2}$ et $17.6$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.5.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.3.5.2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 2.3.5.2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.5.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.5.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 2.3.5.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Réécrivez $\frac{17.6}{35.2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ comme $0.5 (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{2}$ .

$h + C_{1} = 0.5 (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

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Étape 2.3.7.2.1

Multipliez $2$ par $0.5$ .

$h + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Multipliez $u^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$h + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $17.6 t^{2} + 1$ .

$h + C_{1} = {(17.6 t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$h = {(17.6 t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$