Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 4 x y = x$ , $y (2) = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + 4 x y = x$

Étape 1.1.1.2

Multipliez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 4 x y = x$

Étape 1.1.2

Soustrayez $4 x y$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = x - 4 x y$

Étape 1.1.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = x - 4 x y$

Étape 1.1.3.2

Élevez $\frac{d y}{d x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = x - 4 x y$

Étape 1.1.3.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = x - 4 x y$

Étape 1.1.3.4

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = x - 4 x y$

Étape 1.1.4

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = x - 4 x y$ par $x^{2} + 1$ et simplifiez.

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Étape 1.1.4.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = x - 4 x y$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- 4 x y}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- 4 x y}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- 4 x y}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 4 x y}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.2

Factorisez $x$ à partir de $x - 4 x y$ .

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Étape 1.1.4.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{1} - 4 x y}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 - 4 x y}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.2.3

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 + x (- 4 y)}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- 4 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (1 - 4 y)}{x^{2} + 1}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} (1 - 4 y)$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 - 4 y}$ .

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} (\frac{x}{x^{2} + 1} (1 - 4 y))$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $1 - 4 y$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $1 - 4 y$ à partir de $\frac{x}{x^{2} + 1} (1 - 4 y)$ .

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} ((1 - 4 y) \frac{x}{x^{2} + 1})$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} ((1 - 4 y) \frac{x}{x^{2} + 1})$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{1 - 4 y} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{1 - 4 y} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = 1 - 4 y$ . Alors $d u_{1} = - 4 d y$ , donc $- \frac{1}{4} d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = 1 - 4 y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $1 - 4 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - 4 y]$

Étape 2.2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 4 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 4 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 4 y]$

Étape 2.2.1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 4 y]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 4 y]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 4 y$ par rapport à $y$ est $- 4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$0 - 4$

Étape 2.2.1.1.4

Soustrayez $4$ de $0$ .

$- 4$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{- 4} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{u_{1}} (- \frac{1}{4}) d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\int - \frac{1}{u_{1} \cdot 4} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2.2.3

Déplacez $4$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int - \frac{1}{4 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{4 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$- \frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 - 4 y$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u_{2} = x^{2} + 1$ . Alors $d u_{2} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{2} = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 2.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 4$ .

$- 4 (- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |)) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $- 4 (- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\ln (| 1 - 4 y |)$ et $\frac{1}{4}$ .

$- 4 (- \frac{\ln (| 1 - 4 y |)}{4}) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| 1 - 4 y |)}{4}$ dans le numérateur.

$- 4 \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- - \ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Étape 3.2.1.1.3

Multipliez.

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Étape 3.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Étape 3.2.1.1.3.2

Multipliez $\ln (| 1 - 4 y |)$ par $1$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $- 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.3.1

Associez $C$ et $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Étape 3.2.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = 2 (- 2) \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.2.1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 1 - 4 y |) = 2 \cdot - 2 \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.2.1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 (\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2)$

Étape 3.2.2.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 (\ln (| x^{2} + 1 |) + 2 C)$

Étape 3.2.2.1.5

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.2.2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) - 2 (2 C)$

Étape 3.2.2.1.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) - 4 C$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 1 - 4 y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |) = - 4 C$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Simplifiez $\ln (| 1 - 4 y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

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Étape 3.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| 1 - 4 y |) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) = - 4 C$

Étape 3.4.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| 1 - 4 y |) + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) = - 4 C$

Étape 3.4.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = - 4 C$

Étape 3.5

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2})} = e^{- 4 C}$

Étape 3.6

Réécrivez $\ln (| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = - 4 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 4 C} = | 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}$

Étape 3.7

Résolvez $y$ .

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Étape 3.7.1

Réécrivez l’équation comme $| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$ .

$| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$

Étape 3.7.2

Divisez chaque terme dans $| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$ par ${(x^{2} + 1)}^{2}$ et simplifiez.

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Étape 3.7.2.1

Divisez chaque terme dans $| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$ par ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.2.2.1

Annulez le facteur commun de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Étape 3.7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.7.2.2.1.2

Divisez $| 1 - 4 y |$ par $1$ .

$| 1 - 4 y | = \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.7.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 - 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.7.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} - 1$

Étape 3.7.5

Divisez chaque terme dans $- 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} - 1$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 3.7.5.1

Divisez chaque terme dans $- 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} - 1$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 3.7.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 3.7.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 3.7.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 3.7.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.7.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.5.3.1.1

Simplifiez $\frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4}$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 3.7.5.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 3.7.5.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\pm \frac{C}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \frac{C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $2$ et $y$ par $1$ dans $y = \frac{C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$ .

$1 = \frac{C \frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Étape 6

Résolvez $C$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} = 1$ .

$\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} = 1$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés par $4$ .

$\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Simplifiez $\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} \cdot 4$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.1.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{C \frac{1}{{(4 + 1)}^{2}} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Étape 6.3.1.1.1.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{C \frac{1}{5^{2}} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Étape 6.3.1.1.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{C \frac{1}{25} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Étape 6.3.1.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1.1.2.1

Associez $C$ et $\frac{1}{25}$ .

$\frac{\frac{C}{25} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Étape 6.3.1.1.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{C}{25} + \frac{25}{25}}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Étape 6.3.1.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{C + 25}{25}}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Étape 6.3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{C + 25}{25}}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Étape 6.3.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{C + 25}{25} = 1 \cdot 4$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{C + 25}{25} = 4$

Étape 6.4

Résolvez $C$ .

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Étape 6.4.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $25$ .

$25 \frac{C + 25}{25} = 25 \cdot 4$

Étape 6.4.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 6.4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$25 \frac{C + 25}{25} = 25 \cdot 4$

Étape 6.4.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$C + 25 = 25 \cdot 4$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.2.1

Multipliez $25$ par $4$ .

$C + 25 = 100$

Étape 6.4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.4.3.1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$C = 100 - 25$

Étape 6.4.3.2

Soustrayez $25$ de $100$ .

$C = 75$

Étape 7

Remplacez $C$ par $75$ dans $y = \frac{C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $C$ par $75$ .

$y = \frac{75 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Étape 7.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1

Associez $75$ et $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$y = \frac{\frac{75}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Étape 7.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{75}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Étape 7.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{75 + {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Étape 7.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.4.1

Réécrivez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ comme $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$y = \frac{\frac{75 + (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Étape 7.2.4.2

Développez $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.2.4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{\frac{75 + x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Étape 7.2.4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{\frac{75 + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Étape 7.2.4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{\frac{75 + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Étape 7.2.4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.2.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.4.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.4.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\frac{75 + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Étape 7.2.4.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Étape 7.2.4.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Étape 7.2.4.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Étape 7.2.4.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Étape 7.2.4.3.2

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + 2 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Étape 7.2.4.4

Additionnez $75$ et $1$ .

$y = \frac{\frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Étape 7.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 7.4

Multipliez $\frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 4}$

Étape 7.5

Déplacez $4$ à gauche de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{4 {(x^{2} + 1)}^{2}}$