Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \sin (5 \cdot x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \sin (5 \cdot x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \sin (5 \cdot x) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \sin (5 \cdot x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = 5 \cdot x$ . Alors $d u = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 5 \cdot x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $5 \cdot x$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cdot x]$

Étape 2.3.1.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{5} d u$

Étape 2.3.2

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sin (u)}{5} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int \sin (u) d u$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (- \cos (u) + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (- \cos (u)) + C_{2}$

Étape 2.3.5.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{5} + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 \cdot x$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (5 \cdot x)}{5} + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = - \frac{1}{5} \cos (5 x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - \frac{1}{5} \cos (5 x) + K$