Calcul infinitésimal Exemples

$(4 x^{3} y - 15 x^{2} - y) d x + (x^{4} + 3 y^{2} - x) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 4 x^{3} y - 15 x^{2} - y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{3} y - 15 x^{2} - y]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} y - 15 x^{2} - y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [4 x^{3} y] + \frac{d}{d y} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{3} y] + \frac{d}{d y} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [4 x^{3} y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $4 x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 x^{3} y$ par rapport à $y$ est $4 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} + \frac{d}{d y} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.4

Comme $- 15 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 15 x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} + 0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} + 0 - \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} + 0 - 1 \cdot 1$

Étape 1.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} + 0 - 1$

Étape 1.6

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} - 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{4} + 3 y^{2} - x$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 y^{2} - x]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 3 y^{2} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.3

Comme $3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + 0 - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + 0 - 1 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + 0 - 1$

Étape 2.4

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} - 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $4 x^{3} - 1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $4 x^{3} - 1$ .

$4 x^{3} - 1 = 4 x^{3} - 1$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$4 x^{3} - 1 = 4 x^{3} - 1$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 x^{3} y - 15 x^{2} - y d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = 4 x^{3} y - 15 x^{2} - y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 4 x^{3} y d x + \int - 15 x^{2} d x + \int - y d x$

Étape 5.2

Comme $4 y$ est constant par rapport à $x$ , placez $4 y$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 4 y \int x^{3} d x + \int - 15 x^{2} d x + \int - y d x$

Étape 5.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 4 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 15 x^{2} d x + \int - y d x$

Étape 5.4

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 15$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 4 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 \int x^{2} d x + \int - y d x$

Étape 5.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 4 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - y d x$

Étape 5.6

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 4 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - y x + C$

Étape 5.7

Simplifiez

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Étape 5.7.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$f (x, y) = 4 y (\frac{x^{4}}{4} + C) - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - y x + C$

Étape 5.7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$f (x, y) = 4 y (\frac{x^{4}}{4} + C) - 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) - y x + C$

Étape 5.8

Simplifiez

$f (x, y) = y x^{4} - 5 x^{3} - y x + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{4} - 5 x^{3} - y x + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{4} - 5 x^{3} - y x + g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y x^{4} - 5 x^{3} - y x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y x^{4}]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $x^{4}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y x^{4}$ par rapport à $y$ est $x^{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{4} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Étape 8.3.3

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d y} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Étape 8.4

Comme $- 5 x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 5 x^{3}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$x^{4} + 0 + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Étape 8.5

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y x]$ .

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Étape 8.5.1

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y x$ par rapport à $y$ est $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{4} + 0 - x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Étape 8.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{4} + 0 - x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Étape 8.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{4} + 0 - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Étape 8.6

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{4} + 0 - x + \frac{d g}{d y} = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Étape 8.7

Simplifiez

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Étape 8.7.1

Additionnez $x^{4}$ et $0$ .

$x^{4} - x + \frac{d g}{d y} = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Étape 8.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + x^{4} - x = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $x^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - x = x^{4} + 3 y^{2} - x - x^{4}$

Étape 9.1.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = x^{4} + 3 y^{2} - x - x^{4} + x$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $x^{4} + 3 y^{2} - x - x^{4} + x$ .

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Étape 9.1.3.1

Soustrayez $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - x + 0 + x$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $3 y^{2} - x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - x + x$

Étape 9.1.3.3

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 0$

Étape 9.1.3.4

Additionnez $3 y^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $3 y^{2}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 3 y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 y^{2} d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 y^{2} d y$

Étape 10.3

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = 3 \int y^{2} d y$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Étape 10.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.5.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ comme $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Étape 10.5.2

Simplifiez

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Étape 10.5.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + C$

Étape 10.5.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + C$

Étape 10.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$g (y) = 1 y^{3} + C$

Étape 10.5.2.3

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$g (y) = y^{3} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = y x^{4} - 5 x^{3} - y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{4} - 5 x^{3} - y x + y^{3} + C$