Calcul infinitésimal Exemples

$(x y + y + y^{2}) d x + (x + 2 y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x y + y + y^{2}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + y + y^{2}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y + y + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + 2 y$

Étape 1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2 y + 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x + 2 y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.4

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x + 2 y + 1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$x + 2 y + 1 = 1$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$x + 2 y + 1 = 1$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x + 2 y + 1$ .

$\frac{x + 2 y + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$\frac{x + 2 y + 1 - 1}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $x + 2 y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $x + 2 y$ .

$\frac{x + 2 y + 1 - 1}{x + 2 y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{x + 2 y + 0}{x + 2 y}$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $x + 2 y$ et $0$ .

$\frac{x + 2 y}{x + 2 y}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $x + 2 y$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 2 y}{x + 2 y}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$1$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int d x}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de la constante.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Étape 5.2

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(x y + y + y^{2}) d x + (x + 2 y) d y = 0$ par le facteur d’intégration $e^{x}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x y + y + y^{2}$ par $e^{x}$ .

$(x y + y + y^{2}) e^{x} d x + (x + 2 y) d y = 0$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x + 2 y) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $x + 2 y$ par $e^{x}$ .

$(x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x + 2 y) e^{x} d y = 0$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$(x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x e^{x} + 2 y e^{x}) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} + 2 y e^{x} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = x e^{x} + 2 y e^{x}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int x e^{x} d y + \int 2 y e^{x} d y$

Étape 8.2

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x e^{x} y + C + \int 2 y e^{x} d y$

Étape 8.3

Comme $2 e^{x}$ est constant par rapport à $y$ , placez $2 e^{x}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x e^{x} y + C + 2 e^{x} \int y d y$

Étape 8.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + C + 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 8.5

Simplifiez

$f (x, y) = x e^{x} y + 2 \cdot \frac{1}{2} e^{x} y^{2} + C$

Étape 8.6

Simplifiez

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Étape 8.6.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

Étape 8.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = x e^{x} y + \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

Étape 8.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = x e^{x} y + 1 e^{x} y^{2} + C$

Étape 8.6.3

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x e^{x} y]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x e^{x} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Étape 11.3.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Étape 11.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ .

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Étape 11.4.1

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $e^{x} y^{2}$ par rapport à $x$ est $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Étape 11.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Étape 11.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Étape 11.6

Simplifiez

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Étape 11.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Étape 11.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y + e^{x} y^{2} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Étape 11.6.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y + e^{x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $x y e^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x}$

Étape 12.1.2

Soustrayez $y e^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

Étape 12.1.3

Soustrayez $y^{2} e^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y e^{x} - y^{2} e^{x}$

Étape 12.1.4

Associez les termes opposés dans $x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y e^{x} - y^{2} e^{x}$ .

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Étape 12.1.4.1

Soustrayez $x y e^{x}$ de $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + y^{2} e^{x} + 0 - y e^{x} - y^{2} e^{x}$

Étape 12.1.4.2

Additionnez $y e^{x} + y^{2} e^{x}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + y^{2} e^{x} - y e^{x} - y^{2} e^{x}$

Étape 12.1.4.3

Soustrayez $y e^{x}$ de $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} + 0 - y^{2} e^{x}$

Étape 12.1.4.4

Additionnez $y^{2} e^{x}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} - y^{2} e^{x}$

Étape 12.1.4.5

Soustrayez $y^{2} e^{x}$ de $y^{2} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Étape 13

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Étape 13.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Étape 13.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (x) = C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + C$

Étape 15

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x} + y^{2} e^{x} + C$