Calcul infinitésimal Exemples

$(x y - 1) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x y - 1$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y - 1]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 1.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{2} - x y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - x y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x - y$ .

$x = 2 x - y$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$x = 2 x - y$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x - y$ .

$\frac{x - (2 x - y)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $x^{2} - x y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $x^{2} - x y$ .

$\frac{x - (2 x - y)}{x^{2} - x y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - (2 x) - - y}{x^{2} - x y}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - - y}{x^{2} - x y}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $- - y$ .

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Étape 4.3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x - 2 x + 1 y}{x^{2} - x y}$

Étape 4.3.2.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{x - 2 x + y}{x^{2} - x y}$

Étape 4.3.2.4

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x + y}{x^{2} - x y}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x y$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{- x + y}{x \cdot x - x y}$

Étape 4.3.3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x y$ .

$\frac{- x + y}{x \cdot x + x (- 1 y)}$

Étape 4.3.3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{- x + y}{x (x - 1 y)}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{- x + y}{x (x - y)}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $- x + y$ et $x - y$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) + y}{x (x - y)}$

Étape 4.3.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$\frac{- (x) - 1 (- y)}{x (x - y)}$

Étape 4.3.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- y)$ .

$\frac{- (x - y)}{x (x - y)}$

Étape 4.3.4.4

Réécrivez $- (x - y)$ comme $- 1 (x - y)$ .

$\frac{- 1 (x - y)}{x (x - y)}$

Étape 4.3.4.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (x - y)}{x (x - y)}$

Étape 4.3.4.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{x}$

Étape 4.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $- \ln (| x |)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Étape 5.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(x y - 1) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x y - 1$ par $\frac{1}{x}$ .

$(x y - 1) \frac{1}{x} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $x y - 1$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $x^{2} - x y$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + (x^{2} - x y) \frac{1}{x} d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $x^{2} - x y$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x^{2} - x y}{x} d y = 0$

Étape 6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x y$ .

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Étape 6.5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x \cdot x - x y}{x} d y = 0$

Étape 6.5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x y$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x} d y = 0$

Étape 6.5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x (x - 1 y)}{x} d y = 0$

Étape 6.5.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x (x - y)}{x} d y = 0$

Étape 6.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x (x - y)}{x} d y = 0$

Étape 6.6.2

Divisez $x - y$ par $1$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + (x - y) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x - y d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = x - y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int x d y + \int - y d y$

Étape 8.2

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x y + C + \int - y d y$

Étape 8.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x y + C - \int y d y$

Étape 8.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x y + C - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 8.5

Simplifiez

$f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x y - 1}{x}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Étape 11.3.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Étape 11.4

Comme $- \frac{1}{2} y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Étape 11.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x y - 1}{x}$

Étape 11.6

Simplifiez

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Étape 11.6.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y + \frac{d g}{d x} = \frac{x y - 1}{x}$

Étape 11.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + y = \frac{x y - 1}{x}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y - 1}{x} - y$

Étape 12.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.2.1

Divisez la fraction $\frac{x y - 1}{x}$ en deux fractions.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{- 1}{x} - y$

Étape 12.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 12.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{- 1}{x} - y$

Étape 12.1.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} = y + \frac{- 1}{x} - y$

Étape 12.1.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d g}{d x} = y - \frac{1}{x} - y$

Étape 12.1.3

Associez les termes opposés dans $y - \frac{1}{x} - y$ .

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Étape 12.1.3.1

Soustrayez $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x} + 0$

Étape 12.1.3.2

Additionnez $- \frac{1}{x}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $- \frac{1}{x}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 13.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 13.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$g (x) = - (\ln (| x |) + C)$

Étape 13.5

Simplifiez

$g (x) = - \ln (| x |) + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} - \ln (| x |) + C$

Étape 15

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x y - \frac{y^{2}}{2} - \ln (| x |) + C$