Calcul infinitésimal Exemples

$x y \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x y \frac{d y}{d x} = \ln (x)$ par $x y$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x y \frac{d y}{d x} = \ln (x)$ par $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\ln (x)}{x y}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\ln (x)}{x y}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\ln (x)}{x y}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\ln (x)}{x y}$

Étape 1.1.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x y}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{\ln (x)}{x}$ par $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{x y}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{y x}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{y x}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.3.1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int u d u$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln^{2} (x)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln^{2} (x)}{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = \ln^{2} (x) + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$