Calcul infinitésimal Exemples

Associez.

Annulez le facteur commun de ${\displaystyle y^2}$.

Multipliez ${\displaystyle 3}$ par ${\displaystyle 1}$.

Séparez les fractions.

Convertissez de ${\displaystyle \frac{1}{\cos \left(\pi x\right)}}$ à ${\displaystyle \sec \left(\pi x\right)}$.

Divisez ${\displaystyle 3}$ par ${\displaystyle 1}$.

Appliquez les règles de base des exposants.

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${\displaystyle y^{-2}}$ par rapport à ${\displaystyle y}$ est ${\displaystyle -y^{-1}}$.

Réécrivez ${\displaystyle -y^{-1}+C_1}$ comme ${\displaystyle -\frac{1}{y}+C_1}$.

Comme ${\displaystyle 3}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, placez ${\displaystyle 3}$ en dehors de l’intégrale.

Laissez ${\displaystyle u=\pi x}$. Alors ${\displaystyle du=\pi dx}$, donc ${\displaystyle \frac{1}{\pi }du=dx}$. Réécrivez avec ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle d}$${\displaystyle u}$.

Associez ${\displaystyle \sec \left(u\right)}$ et ${\displaystyle \frac{1}{\pi }}$.

Comme ${\displaystyle \frac{1}{\pi }}$ est constant par rapport à ${\displaystyle u}$, placez ${\displaystyle \frac{1}{\pi }}$ en dehors de l’intégrale.

Associez ${\displaystyle \frac{1}{\pi }}$ et ${\displaystyle 3}$.

L’intégrale de ${\displaystyle \sec \left(u\right)}$ par rapport à ${\displaystyle u}$ est ${\displaystyle \ln \left(|\sec \left(u\right)+\tan \left(u\right)|\right)}$.

Simplifiez

Remplacez toutes les occurrences de ${\displaystyle u}$ par ${\displaystyle \pi x}$.

Associez ${\displaystyle \frac{3}{\pi }}$ et ${\displaystyle \ln \left(|\sec \left(\pi x\right)+\tan \left(\pi x\right)|\right)}$.

Simplifiez ${\displaystyle 3\ln \left(|\sec \left(\pi x\right)+\tan \left(\pi x\right)|\right)}$ en déplaçant ${\displaystyle 3}$ dans le logarithme.

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

Comme ${\displaystyle y,\pi ,1}$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique ${\displaystyle 1,1,1}$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable ${\displaystyle y^1}$.

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

Le nombre ${\displaystyle 1}$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Le plus petit multiple commun de ${\displaystyle 1,1,1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

Le facteur pour ${\displaystyle y^1}$ est ${\displaystyle y}$ lui-même.

Le plus petit multiple commun de ${\displaystyle y^1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

Multipliez chaque terme dans ${\displaystyle -\frac{1}{y}=\frac{\ln \left({|\sec \left(\pi x\right)+\tan \left(\pi x\right)|}^3\right)}{\pi }+C}$ par ${\displaystyle y}$.

Simplifiez le côté gauche.

Simplifiez le côté droit.

Réécrivez l’équation comme ${\displaystyle \frac{y\ln \left({|\sec \left(\pi x\right)+\tan \left(\pi x\right)|}^3\right)}{\pi }+Cy=-1}$.

Factorisez ${\displaystyle y}$ à partir de ${\displaystyle \frac{y\ln \left({|\sec \left(\pi x\right)+\tan \left(\pi x\right)|}^3\right)}{\pi }+Cy}$.

Divisez chaque terme dans ${\displaystyle y(\frac{\ln \left({|\sec \left(\pi x\right)+\tan \left(\pi x\right)|}^3\right)}{\pi }+C)=-1}$ par ${\displaystyle \frac{\ln \left({|\sec \left(\pi x\right)+\tan \left(\pi x\right)|}^3\right)}{\pi }+C}$ et simplifiez.