Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{2 y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x}{2 y})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x}{2 y}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{2 y}$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y \cdot 2}$

Étape 1.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y d y = - \frac{x}{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int - \frac{x}{2} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x}{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x}{2} d x$

Étape 2.3.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int x d x)$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez

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Étape 2.3.4.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{4} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{4} x^{2} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{4} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{4} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{4} x^{2} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{1}{4} x^{2} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{4}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{4} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{4}) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{4}$ dans le numérateur.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{4} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2 (2)} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2 \cdot 2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{2} + 2 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{2} + 2 K}$ .

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Étape 3.4.1

Pour écrire $2 K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{2} + 2 K \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 3.4.2

Associez $2 K$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 K \cdot 2}{2}}$

Étape 3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} + 2 K \cdot 2}{2}}$

Étape 3.4.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} + 4 K}{2}}$

Étape 3.4.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{- x^{2} + 4 K}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.4.6

Multipliez $\frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.7.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 3.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.4.7.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 3.4.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.4.8

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{2} + 4 K) \cdot 2}}{2}$

Étape 3.4.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(- x^{2} + 4 K) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + K)}}{2}$