Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} d y + (x y + x^{2}) d x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Réécrivez.

$(x y + x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x y + x^{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + x^{2}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y + x^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{2}$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x$ .

$x = 2 x$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$x = 2 x$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x$ .

$\frac{x - (2 x)}{N}$

Étape 5.3

Remplacez $N$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $N$ par $x^{2}$ .

$\frac{x - (2 x)}{x^{2}}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x - 1 \cdot 2 x$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} - 1 \cdot 2 x}{x^{2}}$

Étape 5.3.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 1 \cdot 2 x}{x^{2}}$

Étape 5.3.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 1 \cdot 2 x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 1 \cdot 2)}{x^{2}}$

Étape 5.3.2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x (1 - 1 \cdot 2)}{x^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x (1 - 2)}{x^{2}}$

Étape 5.3.2.3

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{x^{2}}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot - 1$ .

$\frac{x (- 1)}{x^{2}}$

Étape 5.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x (- 1)}{x \cdot x}$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot - 1}{x \cdot x}$

Étape 5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{x}$

Étape 5.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 6.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Étape 6.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Étape 6.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1

Simplifiez $- \ln (| x |)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Étape 6.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Étape 6.4.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $(x y + x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $x y + x^{2}$ par $\frac{1}{x}$ .

$(x y + x^{2}) \frac{1}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Étape 7.2

Multipliez $x y + x^{2}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y + x^{2}}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Étape 7.3

Factorisez $x$ à partir de $x y + x^{2}$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{x (y) + x^{2}}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Étape 7.3.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x (y) + x \cdot x}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Étape 7.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x (y) + x \cdot x$ .

$\frac{x (y + x)}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (y + x)}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Étape 7.4.2

Divisez $y + x$ par $1$ .

$(y + x) d x + x^{2} d y = 0$

Étape 7.5

Multipliez $x^{2}$ par $\frac{1}{x}$ .

$(y + x) d x + x^{2} \frac{1}{x} d y = 0$

Étape 7.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$(y + x) d x + x \cdot x \frac{1}{x} d y = 0$

Étape 7.6.2

Annulez le facteur commun.

$(y + x) d x + x \cdot x \frac{1}{x} d y = 0$

Étape 7.6.3

Réécrivez l’expression.

$(y + x) d x + x d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d y$

Étape 9

Intégrez $N (x, y) = x$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x y + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x y + g (x)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y + x$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y + g (x)] = y + x$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Étape 12.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Étape 12.3.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y + \frac{d g}{d x} = y + x$

Étape 12.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + y = y + x$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 13.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 13.1.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = y + x - y$

Étape 13.1.2

Associez les termes opposés dans $y + x - y$ .

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Étape 13.1.2.1

Soustrayez $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Étape 13.1.2.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Étape 14

Déterminez la primitive de $x$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Étape 14.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 15

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x y + g (x)$ .

$f (x, y) = x y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 16

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = x y + \frac{x^{2}}{2} + C$