Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x + 6 x^{2} y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x + 6 x^{2} y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + 6 x^{2} y]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 6 x^{2} y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$

Étape 1.2.2

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $6 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $6 x^{2} y$ par rapport à $y$ est $6 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x^{2} \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x^{2}$

Étape 1.4

Additionnez $0$ et $6 x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x^{2}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 3 x^{3} - 2 x y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2 x y]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} - 2 x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x y$ par rapport à $x$ est $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} - 2 y \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} - 2 y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $6 x^{2}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $9 x^{2} - 2 y$ .

$6 x^{2} = 9 x^{2} - 2 y$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$6 x^{2} = 9 x^{2} - 2 y$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $6 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $9 x^{2} - 2 y$ .

$\frac{6 x^{2} - (9 x^{2} - 2 y)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $3 x^{3} - 2 x y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $3 x^{3} - 2 x y$ .

$\frac{6 x^{2} - (9 x^{2} - 2 y)}{3 x^{3} - 2 x y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x^{2} - (9 x^{2}) - (- 2 y)}{3 x^{3} - 2 x y}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 9 x^{2} - (- 2 y)}{3 x^{3} - 2 x y}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 9 x^{2} + 2 y}{3 x^{3} - 2 x y}$

Étape 4.3.2.4

Soustrayez $9 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{3 x^{3} - 2 x y}$

Étape 4.3.3

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{3} - 2 x y$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{x (3 x^{2}) - 2 x y}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x y$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{x (3 x^{2}) + x (- 2 y)}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x^{2}) + x (- 2 y)$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $- 3 x^{2} + 2 y$ et $3 x^{2} - 2 y$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- (3 x^{2}) + 2 y}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Étape 4.3.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $2 y$ .

$\frac{- (3 x^{2}) - (- 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Étape 4.3.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (- 2 y)$ .

$\frac{- (3 x^{2} - 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Étape 4.3.4.4

Réécrivez $- (3 x^{2} - 2 y)$ comme $- 1 (3 x^{2} - 2 y)$ .

$\frac{- 1 (3 x^{2} - 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Étape 4.3.4.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (3 x^{2} - 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Étape 4.3.4.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{x}$

Étape 4.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $- \ln (| x |)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Étape 5.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(2 x + 6 x^{2} y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $2 x + 6 x^{2} y$ par $\frac{1}{x}$ .

$(2 x + 6 x^{2} y) \frac{1}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $2 x + 6 x^{2} y$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 x + 6 x^{2} y}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Étape 6.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x + 6 x^{2} y$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 x (1) + 6 x^{2} y}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez $2 x$ à partir de $6 x^{2} y$ .

$\frac{2 x (1) + 2 x (3 x y)}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Étape 6.3.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (1) + 2 x (3 x y)$ .

$\frac{2 x (1 + 3 x y)}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x (1 + 3 x y)}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Étape 6.4.2

Divisez $2 (1 + 3 x y)$ par $1$ .

$2 (1 + 3 x y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$(2 \cdot 1 + 2 (3 x y)) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$(2 + 2 (3 x y)) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Étape 6.7

Multipliez $3$ par $2$ .

$(2 + 6 x y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Étape 6.8

Multipliez $3 x^{3} - 2 x y$ par $\frac{1}{x}$ .

$(2 + 6 x y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) \frac{1}{x} d y = 0$

Étape 6.9

Multipliez $3 x^{3} - 2 x y$ par $\frac{1}{x}$ .

$(2 + 6 x y) d x + \frac{3 x^{3} - 2 x y}{x} d y = 0$

Étape 6.10

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{3} - 2 x y$ .

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Étape 6.10.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{3}$ .

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2}) - 2 x y}{x} d y = 0$

Étape 6.10.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x y$ .

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2}) + x (- 2 y)}{x} d y = 0$

Étape 6.10.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x^{2}) + x (- 2 y)$ .

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2} - 2 y)}{x} d y = 0$

Étape 6.11

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.11.1

Annulez le facteur commun.

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2} - 2 y)}{x} d y = 0$

Étape 6.11.2

Divisez $3 x^{2} - 2 y$ par $1$ .

$(2 + 6 x y) d x + (3 x^{2} - 2 y) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 + 6 x y d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = 2 + 6 x y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 2 d x + \int 6 x y d x$

Étape 8.2

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 2 x + C + \int 6 x y d x$

Étape 8.3

Comme $6 y$ est constant par rapport à $x$ , placez $6 y$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 2 x + C + 6 y \int x d x$

Étape 8.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x + C + 6 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 8.5

Simplifiez

$f (x, y) = 2 x + 6 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} + C$

Étape 8.6

Simplifiez

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Étape 8.6.1

Associez $6$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = 2 x + \frac{6}{2} y x^{2} + C$

Étape 8.6.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 8.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (x, y) = 2 x + \frac{2 \cdot 3}{2} y x^{2} + C$

Étape 8.6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (x, y) = 2 x + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} y x^{2} + C$

Étape 8.6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = 2 x + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} y x^{2} + C$

Étape 8.6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = 2 x + \frac{3}{1} y x^{2} + C$

Étape 8.6.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} - 2 y$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [2 x + 3 y x^{2} + g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Étape 11.2

Différenciez.

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Étape 11.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 3 y x^{2} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Étape 11.2.2

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 y x^{2}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $3 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y x^{2}$ par rapport à $y$ est $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Étape 11.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$0 + 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 3 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} - 2 y$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Additionnez $0$ et $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} - 2 y$

Étape 11.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} = 3 x^{2} - 2 y$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} - 2 y - 3 x^{2}$

Étape 12.1.2

Associez les termes opposés dans $3 x^{2} - 2 y - 3 x^{2}$ .

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Étape 12.1.2.1

Soustrayez $3 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y + 0$

Étape 12.1.2.2

Additionnez $- 2 y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

Étape 13

Déterminez la primitive de $- 2 y$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y d y$

Étape 13.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - 2 \int y d y$

Étape 13.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 13.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.5.1

Réécrivez $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Étape 13.5.2

Simplifiez

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Étape 13.5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Étape 13.5.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 13.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

Étape 13.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

Étape 13.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Étape 13.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

Étape 13.5.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$g (y) = - y^{2} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} - y^{2} + C$