Calcul infinitésimal Exemples

$(2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y^{2}$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y) + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 x y]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $3 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x y$ par rapport à $y$ est $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Étape 1.4.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6 x]$

Étape 1.5.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 + \frac{d}{d y} [6 x]$

Étape 1.6

Comme $6 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 + 0$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Additionnez $4 y + 3 x - 2$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2$

Étape 1.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 4 y - 2$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x (x + 2 y - 1)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 2 y - 1)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x + 2 y - 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 2 y - 1] + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2 y - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y - 1) \cdot 1$

Étape 2.3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.3.8.1

Multipliez $x + 2 y - 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 2 y - 1$

Étape 2.3.8.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y - 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 x + 4 y - 2$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x + 2 y - 1$ .

$3 x + 4 y - 2 = 2 x + 2 y - 1$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$3 x + 4 y - 2 = 2 x + 2 y - 1$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 x + 4 y - 2$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x + 2 y - 1$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - (2 x + 2 y - 1)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $x (x + 2 y - 1)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $x (x + 2 y - 1)$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - (2 x + 2 y - 1)}{x (x + 2 y - 1)}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 4 y - 2 - (2 x) - (2 y) - - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - 2 x - (2 y) - - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - 2 x - 2 y - - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Étape 4.3.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - 2 x - 2 y + 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $2 x$ de $3 x$ .

$\frac{x + 4 y - 2 - 2 y + 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Étape 4.3.2.4

Soustrayez $2 y$ de $4 y$ .

$\frac{x + 2 y - 2 + 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Étape 4.3.2.5

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$\frac{x + 2 y - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $x + 2 y - 1$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 2 y - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Étape 5.1

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Étape 5.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.2.1

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Étape 5.2.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = | x | + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$ par le facteur d’intégration $x$ .

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Étape 6.1

Multipliez $2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x$ par $x$ .

$(2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x) x d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(2 y^{2} x + 3 x y x - 2 y x + 6 x \cdot x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.1

Déplacez $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 (x \cdot x) y - 2 y x + 6 x \cdot x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 6.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x \cdot x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 6.3.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.2.1

Déplacez $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 (x \cdot x)) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 6.3.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $x (x + 2 y - 1)$ par $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + x (x + 2 y - 1) x d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1

Déplacez $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + x \cdot x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 6.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + x^{2} (x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 6.6

Appliquez la propriété distributive.

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2} x + x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

Étape 6.7

Simplifiez

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Étape 6.7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.7.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2} x^{1} + x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

Étape 6.7.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2 + 1} + x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

Étape 6.7.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

Étape 6.7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2} y + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

Étape 6.7.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2} y - 1 \cdot x^{2}) d y = 0$

Étape 6.8

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2} y - x^{2}) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 2 x^{2} y - x^{2} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = x^{3} + 2 x^{2} y - x^{2}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int x^{3} d y + \int 2 x^{2} y d y + \int - x^{2} d y$

Étape 8.2

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x^{3} y + C + \int 2 x^{2} y d y + \int - x^{2} d y$

Étape 8.3

Comme $2 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $2 x^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} \int y d y + \int - x^{2} d y$

Étape 8.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - x^{2} d y$

Étape 8.5

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - x^{2} y + C$

Étape 8.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) - x^{2} y + C$

Étape 8.7

Simplifiez

$f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{3} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Étape 11.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Étape 11.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Étape 11.4.1

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y x^{2} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Étape 11.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 y x^{2} + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Étape 11.4.3

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Étape 11.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

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Étape 11.5.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2} y$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Étape 11.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Étape 11.5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - 2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Étape 11.6

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - 2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Étape 11.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y + 2 y^{2} x - 2 x y = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $3 x^{2} y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{2} x - 2 x y = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y$

Étape 12.1.2

Soustrayez $2 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y - 2 y^{2} x$

Étape 12.1.3

Ajoutez $2 x y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y - 2 y^{2} x + 2 x y$

Étape 12.1.4

Associez les termes opposés dans $2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y - 2 y^{2} x + 2 x y$ .

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Étape 12.1.4.1

Soustrayez $3 x^{2} y$ de $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x - 2 y x + 6 x^{2} + 0 - 2 y^{2} x + 2 x y$

Étape 12.1.4.2

Additionnez $2 y^{2} x - 2 y x + 6 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x - 2 y x + 6 x^{2} - 2 y^{2} x + 2 x y$

Étape 12.1.4.3

Soustrayez $2 y^{2} x$ de $2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y x + 6 x^{2} + 0 + 2 x y$

Étape 12.1.4.4

Additionnez $- 2 y x + 6 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y x + 6 x^{2} + 2 x y$

Étape 12.1.4.5

Réorganisez les facteurs dans les termes $- 2 y x$ et $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 x^{2} + 2 x y$

Étape 12.1.4.6

Additionnez $- 2 x y$ et $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2} + 0$

Étape 12.1.4.7

Additionnez $6 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $6 x^{2}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x^{2} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x^{2} d x$

Étape 13.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 6 \int x^{2} d x$

Étape 13.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 13.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.5.1

Réécrivez $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ comme $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Étape 13.5.2

Simplifiez

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Étape 13.5.2.1

Associez $6$ et $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{6}{3} x^{3} + C$

Étape 13.5.2.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 13.5.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C$

Étape 13.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.5.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C$

Étape 13.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C$

Étape 13.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (x) = \frac{2}{1} x^{3} + C$

Étape 13.5.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$g (x) = 2 x^{3} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + 2 x^{3} + C$