Calcul infinitésimal Exemples

$2 y d y = (x^{2} + 1) d x$

Étape 1

Intégrez les deux côtés.

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Étape 1.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 1.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 1.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ comme $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 1.2.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 1.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 1.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int d x$

Étape 1.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int d x$

Étape 1.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + x + C_{3}$

Étape 1.3.4

Simplifiez

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Étape 1.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{3} x^{3} + x + K}$

Étape 2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{3} x^{3} + x + K}$ .

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + x + K}$

Étape 2.2.2

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + x \cdot \frac{3}{3} + K}$

Étape 2.2.3

Associez $x$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + \frac{x \cdot 3}{3} + K}$

Étape 2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + x \cdot 3}{3} + K}$

Étape 2.2.5

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + x \cdot 3$ .

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Étape 2.2.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 3}{3} + K}$

Étape 2.2.5.2

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x (3)}{3} + K}$

Étape 2.2.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + K}$

Étape 2.2.6

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + K \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 2.2.7

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.7.1

Associez $K$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + \frac{K \cdot 3}{3}}$

Étape 2.2.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3) + K \cdot 3}{3}}$

Étape 2.2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Étape 2.2.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.8.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.2.8.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{1} x^{2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Étape 2.2.8.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{1 + 2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Étape 2.2.8.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Étape 2.2.8.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 3 \cdot x + K \cdot 3}{3}}$

Étape 2.2.8.4

Déplacez $3$ à gauche de $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 3 x + 3 K}{3}}$

Étape 2.2.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{x^{3} + 3 x + 3 K}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.2.10

Multipliez $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.2.11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.11.1

Multipliez $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.2.11.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 2.2.11.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 2.2.11.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 2.2.11.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.2.11.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.2.11.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2.11.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.11.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.11.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.11.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.11.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 2.2.11.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.2.12

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{3} + 3 x + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Étape 2.2.13

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(x^{3} + 3 x + 3 K) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Étape 2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Étape 2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Étape 2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Étape 3

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + K)}}{3}$