Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} + y^{2} + 1) d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + 1$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + 1]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2} + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.3

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.5

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Étape 1.6

Associez des termes.

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Étape 1.6.1

Additionnez $0$ et $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Étape 1.6.2

Additionnez $2 y$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{2} - 2 x y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x y$ par rapport à $x$ est $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x - 2 y$ .

$2 y = 2 x - 2 y$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 y = 2 x - 2 y$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x - 2 y$ .

$\frac{2 y - (2 x - 2 y)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $x^{2} - 2 x y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $x^{2} - 2 x y$ .

$\frac{2 y - (2 x - 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 y - (2 x) - (- 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 y - 2 x - (- 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 y - 2 x + 2 y}{x^{2} - 2 x y}$

Étape 4.3.2.4

Additionnez $2 y$ et $2 y$ .

$\frac{- 2 x + 4 y}{x^{2} - 2 x y}$

Étape 4.3.2.5

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x + 4 y$ .

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Étape 4.3.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 4 y}{x^{2} - 2 x y}$

Étape 4.3.2.5.2

Factorisez $2$ à partir de $4 y$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Étape 4.3.2.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (2 y)$ .

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Étape 4.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 2 x y$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x \cdot x - 2 x y}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x y$ .

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x \cdot x + x (- 2 y)}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (- 2 y)$ .

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x (x - 2 y)}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $- x + 2 y$ et $x - 2 y$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 2 y)}{x (x - 2 y)}$

Étape 4.3.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $2 y$ .

$\frac{2 (- (x) - (- 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Étape 4.3.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (- 2 y)$ .

$\frac{2 (- (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Étape 4.3.4.4

Réécrivez $- (x - 2 y)$ comme $- 1 (x - 2 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Étape 4.3.4.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 1 (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Étape 4.3.4.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

Étape 4.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Étape 4.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Étape 5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 2 \ln (| x |)$ en déplaçant $- 2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Étape 5.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{- 2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Étape 5.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(x^{2} + y^{2} + 1) d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x^{2} + y^{2} + 1$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x^{2} + y^{2} + 1) \frac{1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $x^{2} + y^{2} + 1$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $x^{2} - 2 x y$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 2 x y) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $x^{2} - 2 x y$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x^{2} - 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.5

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 2 x y$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x - 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.5.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x y$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 2 y)}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (- 2 y)$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 2 y)}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

Étape 6.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

Étape 6.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x - 2 y}{x} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x - 2 y}{x} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = \frac{x - 2 y}{x}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} + \frac{- 2 y}{x} d y$

Étape 8.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

Étape 8.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \int d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

Étape 8.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (x, y) = \int d y + \int - \frac{2 y}{x} d y$

Étape 8.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = y + C + \int - \frac{2 y}{x} d y$

Étape 8.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = y + C - \int \frac{2 y}{x} d y$

Étape 8.6

Comme $\frac{2}{x}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{2}{x}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = y + C - (\frac{2}{x} \int y d y)$

Étape 8.7

Supprimez les parenthèses.

$f (x, y) = y + C - \frac{2}{x} \int y d y$

Étape 8.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = y + C - \frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 8.9

Simplifiez

$f (x, y) = y - \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 8.10

Simplifiez

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Étape 8.10.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{x}$ .

$f (x, y) = y - \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Étape 8.10.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.10.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = y - \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Étape 8.10.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = y - \frac{1}{x} y^{2} + C$

Étape 8.10.3

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Étape 11.2

Différenciez.

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Étape 11.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Étape 11.2.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $- y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{y^{2}}{x}$ par rapport à $x$ est $- y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0 - y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$0 - y^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - y^{2} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Étape 11.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 + 1 y^{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Étape 11.3.5

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$0 + y^{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y^{2} x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + y^{2} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Étape 11.5.2

Associez des termes.

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Étape 11.5.2.1

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0 + \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Étape 11.5.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Étape 11.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1.1.1

Soustrayez $\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (x^{2} + y^{2} + 1)}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - x^{2} - y^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - x^{2} - y^{2} - 1}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.4

Associez les termes opposés dans $y^{2} - x^{2} - y^{2} - 1$ .

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Étape 12.1.1.4.1

Soustrayez $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0 - 1}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2

Additionnez $- x^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} - 1}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5

Pour écrire $\frac{d g}{d x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x^{2} - 1}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$\frac{d g}{d x} x^{2} - x^{2} - 1 = 0$

Étape 12.1.3

Résolvez l’équation pour $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.3.1.1

Ajoutez $x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} x^{2} - 1 = x^{2}$

Étape 12.1.3.1.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} x^{2} = x^{2} + 1$

Étape 12.1.3.2

Divisez chaque terme dans $\frac{d g}{d x} x^{2} = x^{2} + 1$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 12.1.3.2.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d g}{d x} x^{2} = x^{2} + 1$ par $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

Étape 12.1.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 12.1.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

Étape 12.1.3.2.2.1.2

Divisez $\frac{d g}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

Étape 12.1.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.1.3.2.3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 12.1.3.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

Étape 12.1.3.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d x} = 1 + \frac{1}{x^{2}}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $1 + \frac{1}{x^{2}}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 1 + \frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 13.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (x) = \int d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 13.4

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = x + C + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 13.5

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$g (x) = x + C + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 13.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 13.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = x + C + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 13.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$g (x) = x + C + \int x^{- 2} d x$

Étape 13.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$g (x) = x + C - x^{- 1} + C$

Étape 13.8

Simplifiez

$g (x) = x - \frac{1}{x} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + x - \frac{1}{x} + C$