Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d r}{d t} = - 4 r t$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{r}$ .

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d t} = \frac{1}{r} (- 4 r t)$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d t} = - 4 \frac{1}{r} (r t)$

Étape 1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{r}$ .

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d t} = \frac{- 4}{r} (r t)$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $r$ .

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $r$ à partir de $r t$ .

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d t} = \frac{- 4}{r} (r (t))$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d t} = \frac{- 4}{r} (r t)$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d t} = - 4 t$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{r} d r = - 4 t d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{r} d r = \int - 4 t d t$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{r}$ par rapport à $r$ est $\ln (| r |)$ .

$\ln (| r |) + C_{1} = \int - 4 t d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| r |) + C_{1} = - 4 \int t d t$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\ln (| r |) + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $- 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$ comme $- 4 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$ .

$\ln (| r |) + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| r |) + C_{1} = \frac{- 4}{2} t^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\ln (| r |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} t^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\ln (| r |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} t^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| r |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} t^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| r |) + C_{1} = \frac{- 2}{1} t^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$\ln (| r |) + C_{1} = - 2 t^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| r |) = - 2 t^{2} + C$

Étape 3

Résolvez $r$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $r$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| r |)} = e^{- 2 t^{2} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| r |) = - 2 t^{2} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 t^{2} + C} = | r |$

Étape 3.3

Résolvez $r$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| r | = e^{- 2 t^{2} + C}$ .

$| r | = e^{- 2 t^{2} + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$r = \pm e^{- 2 t^{2} + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{- 2 t^{2} + C}$ comme $e^{- 2 t^{2}} e^{C}$ .

$r = \pm e^{- 2 t^{2}} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{- 2 t^{2}}$ et $e^{C}$ .

$r = \pm e^{C} e^{- 2 t^{2}}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$r = C e^{- 2 t^{2}}$