Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x e^{- x^{2}}}{y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x e^{- x^{2}}}{y})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x e^{- x^{2}}}{y}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x e^{- x^{2}}}{y}$

Étape 1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x e^{- x^{2}}}{y}$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = - (x e^{- x^{2}})$

$y \frac{d y}{d x} = - x e^{- x^{2}}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y d y = - x e^{- x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int - x e^{- x^{2}} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x e^{- x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{- x^{2}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Alors $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 2.3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.3.2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Étape 2.3.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Étape 2.3.2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Étape 2.3.2.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- \frac{1}{2} u_{2} + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- \frac{1}{2} u_{2}) + C_{2}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

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Étape 2.3.5.2.1

Associez $u_{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - - \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.3

Multipliez $\frac{u_{2}}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

Étape 2.3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{e^{- x^{2}}}{2} + C_{2}$

Étape 2.3.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{- x^{2}}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{e^{- x^{2}}}{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \frac{e^{- x^{2}}}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{e^{- x^{2}}}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = e^{- x^{2}} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + K}$