Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d s}{d t} = 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3}$ , $s (1) = 3$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d s = 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d s = \int 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$s + C_{1} = \int 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $20$ est constant par rapport à $t$ , placez $20$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = 20 \int t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 5 t^{2} - 3$ . Alors $d u = 10 t d t$ , donc $\frac{1}{10} d u = t d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 5 t^{2} - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $5 t^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{2} - 3]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 t^{2} - 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Étape 2.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [5 t^{2}]$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t^{2}$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]$

Étape 2.3.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 t + \frac{d}{d t} [- 3]$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.2.1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$10 t + 0$

Étape 2.3.2.1.4.2

Additionnez $10 t$ et $0$ .

$10 t$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$s + C_{1} = 20 \int u^{3} \frac{1}{10} d u$

Étape 2.3.3

Associez $u^{3}$ et $\frac{1}{10}$ .

$s + C_{1} = 20 \int \frac{u^{3}}{10} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{10}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{10}$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = 20 (\frac{1}{10} \int u^{3} d u)$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{10}$ et $20$ .

$s + C_{1} = \frac{20}{10} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2

Annulez le facteur commun à $20$ et $10$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Factorisez $10$ à partir de $20$ .

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.2.2.1

Factorisez $10$ à partir de $10$ .

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10 (1)} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ comme $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

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Étape 2.3.7.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.3.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 t^{2} - 3$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $1$ et $s$ par $3$ dans $s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$ .

$3 = \frac{1}{2} {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K = 3$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1 - 3)}^{4} + K = 3$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(5 - 3)}^{4} + K = 3$

Étape 4.2.2

Soustrayez $3$ de $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} + K = 3$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 3$

Étape 4.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 3$

Étape 4.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$2^{3} + K = 3$

Étape 4.2.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 + K = 3$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$K = 3 - 8$

Étape 4.3.2

Soustrayez $8$ de $3$ .

$K = - 5$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 5$ dans $s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 5$ .

$s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} - 5$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$s = \frac{1}{2} ({(5 t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) - 5$

Étape 5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $5 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (5^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) - 5$

Étape 5.2.2.2

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 {(t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) - 5$

Étape 5.2.2.3

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{4}$ .

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Étape 5.2.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{2 \cdot 4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) - 5$

Étape 5.2.2.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) - 5$

Étape 5.2.2.4

Appliquez la règle de produit à $5 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (5^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) - 5$

Étape 5.2.2.5

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 {(t^{2})}^{3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) - 5$

Étape 5.2.2.6

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{3}$ .

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Étape 5.2.2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 t^{2 \cdot 3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) - 5$

Étape 5.2.2.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 t^{6}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) - 5$

Étape 5.2.2.7

Multipliez $125$ par $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 500 t^{6} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) - 5$

Étape 5.2.2.8

Multipliez $- 3$ par $500$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) - 5$

Étape 5.2.2.9

Appliquez la règle de produit à $5 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (5^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) - 5$

Étape 5.2.2.10

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 {(t^{2})}^{2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) - 5$

Étape 5.2.2.11

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.2.2.11.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 t^{2 \cdot 2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) - 5$

Étape 5.2.2.11.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 t^{4}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) - 5$

Étape 5.2.2.12

Multipliez $25$ par $6$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 150 t^{4} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) - 5$

Étape 5.2.2.13

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 150 t^{4} \cdot 9 + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) - 5$

Étape 5.2.2.14

Multipliez $9$ par $150$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) - 5$

Étape 5.2.2.15

Multipliez $5$ par $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 20 t^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) - 5$

Étape 5.2.2.16

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 20 t^{2} \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}) - 5$

Étape 5.2.2.17

Multipliez $- 27$ par $20$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} - 540 t^{2} + {(- 3)}^{4}) - 5$

Étape 5.2.2.18

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} - 540 t^{2} + 81) - 5$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 - 5$

Étape 5.2.4

Simplifiez

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $\frac{1}{2} (625 t^{8})$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Associez $625$ et $\frac{1}{2}$ .

$s = \frac{625}{2} t^{8} + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 - 5$

Étape 5.2.4.1.2

Associez $\frac{625}{2}$ et $t^{8}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 - 5$

Étape 5.2.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 1500 t^{6}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 750 t^{6})) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 - 5$

Étape 5.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 750 t^{6})) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 - 5$

Étape 5.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 - 5$

Étape 5.2.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $1350 t^{4}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 - 5$

Étape 5.2.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 - 5$

Étape 5.2.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 - 5$

Étape 5.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 540 t^{2}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 270 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 81 - 5$

Étape 5.2.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 270 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 81 - 5$

Étape 5.2.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 81 - 5$

Étape 5.2.4.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $81$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81}{2} - 5$

Étape 5.3

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.4

Associez $- 5$ et $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81 - 5 \cdot 2}{2}$

Étape 5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81 - 10}{2}$

Étape 5.6.2

Soustrayez $10$ de $81$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{71}{2}$