Calcul infinitésimal Exemples

$d x - (y - 2 x y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 1$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - (y - 2 x y)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (y - 2 x y)]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (y - 2 x y)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y - 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [y - 2 x y]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 2 x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y])$

Étape 2.4

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x y])$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Étape 2.6

Comme $- 2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x y$ par rapport à $x$ est $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- 2 y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.7

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

Étape 2.9

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $0$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 y$ .

$0 = 2 y$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$0 = 2 y$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 y$ .

$\frac{0 - (2 y)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $- (y - 2 x y)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $- (y - 2 x y)$ .

$\frac{0 - (2 y)}{- (y - 2 x y)}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0 - 2 y}{- (y - 2 x y)}$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $2 y$ de $0$ .

$\frac{- 2 y}{- (y - 2 x y)}$

Étape 4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y - 2 x y$ .

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Étape 4.3.3.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 y}{- (y^{1} - 2 x y)}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$\frac{- 2 y}{- (y \cdot 1 - 2 x y)}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $- 2 x y$ .

$\frac{- 2 y}{- (y \cdot 1 + y (- 2 x))}$

Étape 4.3.3.4

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ .

$\frac{- 2 y}{- (y (1 - 2 x))}$

$\frac{- 2 y}{- y (1 - 2 x)}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 y}{- y (1 - 2 x)}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{- 1 (1 - 2 x)}$

Étape 4.3.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{2}{1 - 2 x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{1 - 2 x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{2}{1 - 2 x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{1 - 2 x} d x}$

Étape 5.2

Laissez $u = 1 - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.2.1

Laissez $u = 1 - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.2.1.1

Différenciez $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Étape 5.2.1.2

Différenciez.

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Étape 5.2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 5.2.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 5.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 5.2.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Étape 5.2.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$0 - 2$

Étape 5.2.1.4

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2$

Étape 5.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u}$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Étape 5.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int - \frac{1}{2 u} d u}$

Étape 5.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{2 (- \int \frac{1}{2 u} d u)}$

Étape 5.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Étape 5.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Étape 5.7

Simplifiez

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Étape 5.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.7.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 5.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.7.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Étape 5.9

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Étape 5.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 2 x$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 1 - 2 x |)} + C$

Étape 5.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.11.1

Simplifiez $- \ln (| 1 - 2 x |)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 1 - 2 x |}^{- 1})} + C$

Étape 5.11.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| 1 - 2 x |}^{- 1} + C$

Étape 5.11.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| 1 - 2 x |} + C$

Étape 6

Multipliez $1$ par $\frac{1}{1 - 2 x}$ .

$d x - (y - 2 x y) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - y d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = - y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - \int y d y$

Étape 8.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 8.3

Réécrivez $- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

Étape 11.3

Comme $- \frac{1}{2} y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

Étape 11.5

Additionnez $0$ et $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

Étape 12

Déterminez la primitive de $\frac{1}{1 - 2 x}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 12.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Étape 12.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Étape 12.3

Laissez $u = 1 - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 12.3.1

Laissez $u = 1 - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 12.3.1.1

Différenciez $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Étape 12.3.1.2

Différenciez.

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Étape 12.3.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 12.3.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 12.3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 12.3.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 12.3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Étape 12.3.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$0 - 2$

Étape 12.3.1.4

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2$

Étape 12.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Étape 12.4

Simplifiez

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Étape 12.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (x) = \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 12.4.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 12.4.3

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Étape 12.4.4

Multipliez $2$ par $u$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{2 u} d u$

Étape 12.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 12.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 12.7

Supprimez les parenthèses.

$g (x) = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 12.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Étape 12.9

Simplifiez

$g (x) = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Étape 12.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 2 x$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Étape 13

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Étape 14

Simplifiez $f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$ .

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Étape 14.1.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)$ .

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Étape 14.1.2.1

Remettez dans l’ordre $\ln (| 1 - 2 x |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)) + C$

Étape 14.1.2.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 14.2

Pour écrire $- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Étape 14.3

Associez $- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Étape 14.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Étape 14.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.5.1

Multipliez $- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

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Étape 14.5.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - 2 \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Étape 14.5.1.2

Simplifiez $- 2 \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

Étape 14.5.2

Multipliez les exposants dans ${({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 14.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Étape 14.5.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Étape 14.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{1})}{2} + C$

Étape 14.5.3

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln (| 1 - 2 x |)}{2} + C$