Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \cos (4 x) - 2 x$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (\cos (4 x) - 2 x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \cos (4 x) - 2 x d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \cos (4 x) - 2 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int \cos (4 x) d x + \int - 2 x d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 4 x$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.3.2.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 2.3.2.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{4} d u + \int - 2 x d x$

Étape 2.3.3

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{4} d u + \int - 2 x d x$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u) d u + \int - 2 x d x$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) + \int - 2 x d x$

Étape 2.3.6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) - 2 \int x d x$

Étape 2.3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Étape 2.3.8

Simplifiez

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Étape 2.3.8.1

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.8.2

Simplifiez

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Étape 2.3.8.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.8.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.3.8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.8.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.8.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.8.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.8.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.8.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) - x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (4 x) - x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = - x^{2} + \frac{1}{4} \sin (4 x) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - x^{2} + \frac{1}{4} \sin (4 x) + K$