Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \ln (x)$ , $y (1) = 2$

Étape 1

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $x^{2} y$ .

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Étape 1.4

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Étape 1.5

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Étape 1.6

Déplacez $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Étape 2

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \ln (x)$

Étape 3

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \ln (x) d x$

Étape 4

Intégrez le côté gauche.

$x^{2} y = \int \ln (x) d x$

Étape 5

Intégrez le côté droit.

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Étape 5.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = 1$ .

$x^{2} y = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Étape 5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int d x$

Étape 5.3

Appliquez la règle de la constante.

$x^{2} y = \ln (x) x - (x + C)$

Étape 5.4

Simplifiez

$x^{2} y = \ln (x) x - x + C$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $\ln (x) x$ .

$y = \frac{x \ln (x)}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.1.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 6.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- 1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 7

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $2$ dans $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$2 = \frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$

Étape 8

Résolvez $C$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$ .

$\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Étape 8.2

Simplifiez $\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$ .

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Étape 8.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (1) - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Étape 8.2.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0 - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Étape 8.2.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Étape 8.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.4.1

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Étape 8.2.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 1 + \frac{C}{1} = 2$

Étape 8.2.4.3

Divisez $C$ par $1$ .

$- 1 + C = 2$

Étape 8.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.3.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$C = 2 + 1$

Étape 8.3.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$C = 3$

Étape 9

Remplacez $C$ par $3$ dans $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Remplacez $C$ par $3$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}$