Calcul infinitésimal Exemples

$x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x \cos^{2} (y)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cos^{2} (y)]$

Étape 1.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x \cos^{2} (y)$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = \cos (y)$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 u \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Étape 1.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot x \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)]$

Étape 1.5

La dérivée de $\cos (y)$ par rapport à $y$ est $- \sin (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cos (y) (- \sin (y))$

Étape 1.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \cos (y) \sin (y)$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = \tan (y)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\tan (y)]$

Étape 2.2

Comme $\tan (y)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\tan (y)$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $x \cos^{2} (y)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $x \cos^{2} (y)$ .

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{0 + 2 (x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Étape 4.3.2.2

Remettez dans l’ordre $2$ et $x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{0 + x \cos (y) \sin (y) \cdot 2}{x \cos^{2} (y)}$

Étape 4.3.2.3

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{0 + x \cos (y) (\sin (y) \cdot 2)}{x \cos^{2} (y)}$

Étape 4.3.2.4

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{0 + x (\cos (y) (\sin (y) \cdot 2))}{x \cos^{2} (y)}$

Étape 4.3.2.5

Remettez dans l’ordre $\cos (y)$ et $\sin (y) \cdot 2$ .

$\frac{0 + x (\sin (y) \cdot 2 \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Étape 4.3.2.6

Remettez dans l’ordre $\sin (y)$ et $2$ .

$\frac{0 + x (2 \cdot \sin (y) \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Étape 4.3.2.7

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\frac{0 + x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Étape 4.3.2.8

Additionnez $0$ et $x \sin (2 y)$ .

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (2 y)}{\cos^{2} (y)}$

Étape 4.3.4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\frac{2 \sin (y) \cos (y)}{\cos^{2} (y)}$

Étape 4.3.5

Annulez le facteur commun à $\cos (y)$ et $\cos^{2} (y)$ .

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Étape 4.3.5.1

Factorisez $\cos (y)$ à partir de $2 \sin (y) \cos (y)$ .

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos^{2} (y)}$

Étape 4.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.5.2.1

Factorisez $\cos (y)$ à partir de $\cos^{2} (y)$ .

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

Étape 4.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

Étape 4.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sin (y)}{\cos (y)}$

Étape 4.3.6

Séparez les fractions.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

Étape 4.3.7

Convertissez de $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ à $\tan (y)$ .

$\frac{2}{1} \tan (y)$

Étape 4.3.8

Remplacez $M$ par $x \cos^{2} (y)$ .

$2 \tan (y)$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 \tan (y) d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int 2 \tan (y) d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{2 \int \tan (y) d y}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\tan (y)$ par rapport à $y$ est $\ln (| \sec (y) |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| \sec (y) |) + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| \sec (y) |)} + C$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $2 \ln (| \sec (y) |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (y) |}^{2})} + C$

Étape 5.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| \sec (y) |}^{2} + C$

Étape 5.4.3

Retirez la valeur absolue dans ${| \sec (y) |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = \sec^{2} (y) + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\sec^{2} (y)$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x \cos^{2} (y)$ par $\sec^{2} (y)$ .

$x \cos^{2} (y) \sec^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

Étape 6.2

Réécrivez $\sec (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$x \cos^{2} (y) {(\frac{1}{\cos (y)})}^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

Étape 6.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$x \cos^{2} (y) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (y)$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $\cos^{2} (y)$ à partir de $x \cos^{2} (y)$ .

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Étape 6.4.2

Annulez le facteur commun.

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Étape 6.4.3

Réécrivez l’expression.

$x \cdot 1^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

Étape 6.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x \cdot 1 d x + \tan (y) d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$x d x + \tan (y) d y = 0$

Étape 6.7

Multipliez $\tan (y)$ par $\sec^{2} (y)$ .

$x d x + \tan (y) \sec^{2} (y) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = x$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Étape 11.3

Comme $\frac{1}{2} x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{1}{2} x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Étape 11.5

Additionnez $0$ et $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Étape 12

Déterminez la primitive de $\tan (y) \sec^{2} (y)$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 12.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

Étape 12.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

Étape 12.3

Laissez $u = \sec (y)$ . Alors $d u = \sec (y) \tan (y) d y$ , donc $\frac{1}{\sec (y) \tan (y)} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 12.3.1

Laissez $u = \sec (y)$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 12.3.1.1

Différenciez $\sec (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\sec (y)]$

Étape 12.3.1.2

La dérivée de $\sec (y)$ par rapport à $y$ est $\sec (y) \tan (y)$ .

$\sec (y) \tan (y)$

Étape 12.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$g (y) = \int u d u$

Étape 12.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} u^{2} + C$

Étape 12.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (y)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Étape 13

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Étape 14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Étape 14.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sec^{2} (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{\sec^{2} (y)}{2} + C$