Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + \ln (x)) d x + (1 + \ln (y)) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $(1 + \ln (x)) d x$ des deux côtés de l’équation.

$(1 + \ln (y)) d y = - (1 + \ln (x)) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 1 + \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d y + \int \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} + \int \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Étape 2.2.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (y)$ et $d v = 1$ .

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int y \frac{1}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Associez $y$ et $\frac{1}{y}$ .

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int \frac{y}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Étape 2.2.4.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int \frac{y}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Étape 2.2.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Étape 2.2.5

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} + \ln (y) y - (y + C_{2}) = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

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Étape 2.2.6.1

Simplifiez

$y + \ln (y) y - y + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Étape 2.2.6.2

Simplifiez

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Étape 2.2.6.2.1

Soustrayez $y$ de $y$ .

$\ln (y) y + 0 + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Étape 2.2.6.2.2

Additionnez $\ln (y) y$ et $0$ .

$\ln (y) y + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Étape 2.2.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$y \ln (y) + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y \ln (y) + C_{3} = - \int 1 + \ln (x) d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y \ln (y) + C_{3} = - (\int d x + \int \ln (x) d x)$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \ln (x) d x)$

Étape 2.3.4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = 1$ .

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Étape 2.3.5.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Étape 2.3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int d x)$

Étape 2.3.6

Appliquez la règle de la constante.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - (x + C_{5}))$

Étape 2.3.7

Simplifiez

$y \ln (y) + C_{3} = - \ln (x) x + C_{6}$

Étape 2.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$y \ln (y) + C_{3} = - x \ln (x) + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y \ln (y) = - x \ln (x) + K$