Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 4 x y = 2 x$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 4 x$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 4 x d x}$

Étape 1.2

Intégrez $4 x$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 \int x d x}$

Étape 1.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Réécrivez $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 1.2.3.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{4}{2} x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e^{\frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{2}{1} x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$e^{2 x^{2} + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 x^{2}}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{2 x^{2}}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{2 x^{2}}$ .

$e^{2 x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{2 x^{2}} (4 x y) = e^{2 x^{2}} (2 x)$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{2 x^{2}} (x y) = e^{2 x^{2}} (2 x)$

Étape 2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{2 x^{2}} (x y) = 2 e^{2 x^{2}} x$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{2 x^{2}} (x y) = 2 e^{2 x^{2}} x$ .

$e^{2 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 4 x y e^{2 x^{2}} = 2 x e^{2 x^{2}}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x^{2}} y] = 2 x e^{2 x^{2}}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x^{2}} y] d x = \int 2 x e^{2 x^{2}} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{2 x^{2}} y = \int 2 x e^{2 x^{2}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 x^{2}} y = 2 \int x e^{2 x^{2}} d x$

Étape 6.2

Laissez $u_{2} = e^{2 x^{2}}$ . Alors $d u_{2} = 4 x e^{2 x^{2}} d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{2} = x e^{2 x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.2.1

Laissez $u_{2} = e^{2 x^{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 6.2.1.1

Différenciez $e^{2 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x^{2}}]$

Étape 6.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x^{2}$ .

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Étape 6.2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Étape 6.2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Étape 6.2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x^{2}$ .

$e^{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Étape 6.2.1.3

Différenciez.

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Étape 6.2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{2 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 6.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{2 x^{2}} (2 (2 x))$

Étape 6.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$e^{2 x^{2}} (4 x)$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez

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Étape 6.2.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{2 x^{2}} (4 x)$ .

$4 e^{2 x^{2}} x$

Étape 6.2.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 e^{2 x^{2}} x$ .

$4 x e^{2 x^{2}}$

Étape 6.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$e^{2 x^{2}} y = 2 \int \frac{1}{4} d u_{2}$

Étape 6.3

Appliquez la règle de la constante.

$e^{2 x^{2}} y = 2 (\frac{1}{4} u_{2} + C)$

Étape 6.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.4.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{4} u_{2} + C)$ comme $2 (\frac{1}{4}) u_{2} + C$ .

$e^{2 x^{2}} y = 2 (\frac{1}{4}) u_{2} + C$

Étape 6.4.2

Simplifiez

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Étape 6.4.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x^{2}} y = \frac{2}{4} u_{2} + C$

Étape 6.4.2.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 6.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{2 x^{2}} y = \frac{2 (1)}{4} u_{2} + C$

Étape 6.4.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e^{2 x^{2}} y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u_{2} + C$

Étape 6.4.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{2 x^{2}} y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u_{2} + C$

Étape 6.4.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{2 x^{2}} y = \frac{1}{2} u_{2} + C$

Étape 6.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{2 x^{2}}$ .

$e^{2 x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{2 x^{2}} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{2 x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{2 x^{2}} + C$ par $e^{2 x^{2}}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{2 x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{2 x^{2}} + C$ par $e^{2 x^{2}}$ .

$\frac{e^{2 x^{2}} y}{e^{2 x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x^{2}}}{e^{2 x^{2}}} + \frac{C}{e^{2 x^{2}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 x^{2}}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x^{2}} y}{e^{2 x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x^{2}}}{e^{2 x^{2}}} + \frac{C}{e^{2 x^{2}}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x^{2}}}{e^{2 x^{2}}} + \frac{C}{e^{2 x^{2}}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 x^{2}}$ .

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x^{2}}}{e^{2 x^{2}}} + \frac{C}{e^{2 x^{2}}}$

Étape 7.3.1.2

Divisez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 x^{2}}}$