Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + p (x) y = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle.

$\frac{d y}{d x} + y \cdot y = 0$

Étape 2

Séparez les variables.

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Étape 2.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{d y}{d x} + y^{2} = 0$

Étape 2.1.2

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = - y^{2}$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (- y^{2})$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y^{2}} y^{2}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} y^{2}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} y^{2}$

Étape 2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - 1$

Étape 2.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - 1 d x$

Étape 3.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.2.1.1

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - 1 d x$

Étape 3.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - 1 d x$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - 1 d x$

Étape 3.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - 1 d x$

Étape 3.2.3

Réécrivez $- y^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - 1 d x$

Étape 3.3

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - x + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{y} = - x + K$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, 1$

Étape 4.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 4.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{y} = - x + K$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{y} = - x + K$ par $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - x y + K y$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{y} y = - x y + K y$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{y} y = - x y + K y$

Étape 4.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = - x y + K y$

Étape 4.3

Résolvez l’équation.

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Étape 4.3.1

Réécrivez l’équation comme $- x y + K y = - 1$ .

$- x y + K y = - 1$

Étape 4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- x y + K y$ .

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- x y$ .

$y (- x) + K y = - 1$

Étape 4.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $K y$ .

$y (- x) + y K = - 1$

Étape 4.3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- x) + y K$ .

$y (- x + K) = - 1$

Étape 4.3.3

Divisez chaque terme dans $y (- x + K) = - 1$ par $- x + K$ et simplifiez.

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Étape 4.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y (- x + K) = - 1$ par $- x + K$ .

$\frac{y (- x + K)}{- x + K} = \frac{- 1}{- x + K}$

Étape 4.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- x + K$ .

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Étape 4.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (- x + K)}{- x + K} = \frac{- 1}{- x + K}$

Étape 4.3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{- x + K}$

Étape 4.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{- x + K}$

Étape 4.3.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y = - \frac{1}{- (x) + K}$

Étape 4.3.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $K$ .

$y = - \frac{1}{- (x) - 1 (- K)}$

Étape 4.3.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- K)$ .

$y = - \frac{1}{- (x - K)}$

Étape 4.3.3.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.3.3.5.1

Réécrivez $- (x - K)$ comme $- 1 (x - K)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (x - K)}$

Étape 4.3.3.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - - \frac{1}{x - K}$

Étape 4.3.3.3.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{x - K}$

Étape 4.3.3.3.5.4

Multipliez $\frac{1}{x - K}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{x - K}$

Étape 5

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{1}{x + K}$